Interpretation komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Powl |
| Aufgabe | Berechnen Sie die 5.-Wurzeln der komplexen Zahl
w= 16 + [mm] 16\*\wurzel{3}\* [/mm] i.
Welche Gleichung lösen diese Zahlen? Skizzieren Sie die Lösungsmenge. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe um die Wurzel ziehen zu können zunächst die Polarkoordinatendarstellung gewählt und somit fünf Ergebnisse erhalten.
Nämlich [mm] 2\*e^{i(\pi/3 + 2\pi \*k)} [/mm] mit k=0,1,2,3,4
Ich weiß allerdings nicht was mit das Ergebnis sagt, da ich (ja das ist schlimm, ich mag es selber nicht) lediglich nach dem Skript vorgegangen bin.
Die Frage "Welche Gleichung lösen diese Zahlen" ist mir ein Rätsel und wie kann ich mir die Lösung vorstellen? (Die Polarkoordinaten habe ich skizziert, allerdings weiß ich nicht, was mir das letztlich sagt.)
Liebe Grüße
Paul
Danke im voraus.
|
|
| |
|
Hallo Paul!
Die Fragestellung scheint mir ein typischer Verschreiber zu sein.
"Welche Zahlen lösen diese Gleichung?" ist ja die einzig sinnvolle Fragestellung.
An Deinem Ergebnis kann noch was nicht stimmen:
> Ich habe um die Wurzel ziehen zu können zunächst die
> Polarkoordinatendarstellung gewählt und somit fünf
> Ergebnisse erhalten.
Richtig.
> Nämlich [mm]2\*e^{i(\pi/3 + 2\pi \*k)}[/mm] mit k=0,1,2,3,4
Nicht richtig.
Der Exponent macht doch so keinen Sinn.
[mm] 2*e^{i(\pi/3 + \bruch{2\pi}{\red{5}}*k)} [/mm] mit k=0,1,2,3,4
sähe dagegen schon viel sinnvoller aus.
Mach mal eine Probe für irgendein k. Wenn's da stimmt, stimmt's für alle.
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:59 Do 18.12.2008 | | Autor: | Powl |
Hab es auch genau so hier stehen, hatte mich jedoch verschrieben. Dankeschön
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:17 Do 18.12.2008 | | Autor: | Powl |
Jedoch verstehe ich immer noch nicht, welche Gleichung diese Zahlen lösen bzw. was mir die Ergebnisse sagen (sollen). Ist die Lösung so einfach, dass ich sie übersehe?
Übrigens habe ich
[mm] 2*e^{i((\pi/3 + 2\pi *k))/5} [/mm] sehe ich gerade ... das Ergebnis ist ja auch nicht so wichtig - will ja zunächst erstmal verstehen.
Grüße
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:26 Do 18.12.2008 | | Autor: | Powl |
Es tut mir leid - jetzt habe ich eine Mitteilung statt einer weiteren Frage gepostet.
Jedoch verstehe ich immer noch nicht, welche Gleichung diese Zahlen lösen bzw. was mir die Ergebnisse sagen (sollen). Ist die Lösung so einfach, dass ich sie übersehe?
Übrigens habe ich
$ [mm] 2\cdot{}e^{i((\pi/3 + 2\pi \cdot{}k))/5} [/mm] $ sehe ich gerade ... das Ergebnis ist ja auch nicht so wichtig - will ja zunächst erstmal verstehen.
Grüße
Paul
|
|
|
| |
|
Hallo Paul,
Du hast die fünften Wurzeln der gegebenen Zahl [mm] w=16+16\wurzel{3}i [/mm] ermittelt.
Es gibt fünf davon, und sie sind sehr symmetrisch aufgebaut. Das ist immer so: wenn Du n-te Wurzeln suchst, findest Du n Stück davon, die in Polarkoordinaten alle den Term [mm] \bruch{2\pi}{n} [/mm] beinhalten: die n Wurzeln teilen den Kreis in n gleiche Stücke.
Mehr ist daran nicht zu sehen, aber ich finde das auch schon eine ganze Menge.
Es ist übrigens daher beliebig unwahrscheinlich, dass die "Fünftel" erst hinter den ganzen Exponenten gehören. Prüfs nochmal nach.
Grüße,
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:44 Do 18.12.2008 | | Autor: | Powl |
Woooow - Danke für die Erklärung. Ich glaube ich fang langsam an zu verstehen und wende nicht nur "blind" die Formel an. Gib mir noch ein paar Tage und ich durchblicke das im Ganzen ;)
Grüße
Paul
|
|
|
|
