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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Schwerpunkt der Fläche , die durch die Graphen von f und g begrent wird. f(x)= [mm] -x^{2}+\bruch{3}{2}, [/mm] g(x)= [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] +1 |
Hallo,
ich habe hier schon angefangen und habe zuerst f(x)=g(x) gesetzt somit [mm] \Rightarrow x^2+\bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] rausbekommen.
Nullstellen berechnet: x= 0,5 und x= 1
Schwerpunktsformel einer ebenen Fläche zwischen den Funktionen lautet:
[mm] xs=\bruch{1}{A} \integral_{a}^{b}{x* (f(x)-g(x)) dx}
[/mm]
Zuerst habe ich A= Fläche ausgerechnet.
A= [mm] \integral_{-1}^{0,5}{ x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2} dx}
[/mm]
= [mm] (\bruch{1}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x)
[/mm]
habe hier 0,5 und 1 eingesetzt somit = [mm] -\bruch{7}{48} [/mm] -( - [mm] \bruch{1}{12}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{16}
[/mm]
aber eine Fläche kann ja nicht minus sein, daher A= + [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
Bin mir aber nicht sicher ob ich hier auch alles richtig habe wegen + -
xs= [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{16}}*\integral_{-1}^{0,5}{ x( x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2}) dx}
[/mm]
und hier bekomme ich am ende [mm] \bruch{9}{4} [/mm] raus wobei es falsch ist, es muss eigentlich - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] rauskommen ... und finde meinen fehler nicht. Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Abend Schlumpf004
> Berechnen Sie den Schwerpunkt der Fläche , die durch die
> Graphen von f und g begrenzt wird. f(x)=
> [mm]-x^{2}+\bruch{3}{2},[/mm] g(x)= [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] +1
> ich habe hier schon angefangen und habe zuerst f(x)=g(x)
> gesetzt somit [mm]\Rightarrow x^2+\bruch{1}{2}x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> rausbekommen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Eigentlich war doch eine Gleichung fällig, nicht ein bloßer Term !
> Nullstellen berechnet: x= 0,5 und x= 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
(auch Vorzeichen sind manchmal ganz wichtig !!)
> Schwerpunktsformel einer ebenen Fläche zwischen den
> Funktionen lautet:
> [mm]xs=\bruch{1}{A} \integral_{a}^{b}{x* (f(x)-g(x)) dx}[/mm]
>
> Zuerst habe ich A= Fläche ausgerechnet.
> A= [mm]\integral_{-1}^{0,5}{ x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2}\right)\ dx}[/mm]
Eigentlich sollte man da Klammern um den Integranden setzen :
A= [mm]\integral_{-1}^{0,5}{\left( x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2}\,\right) dx}[/mm]
Doch ich stelle fest: zauberhafterweise ist das vorher
verschwundene Minuszeichen irgendwie wieder aufgetaucht ...
> = [mm](\bruch{1}{3}x^3[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}x^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}x)[/mm]
>
> habe hier 0,5 und 1 eingesetzt ????
Jetzt ist das Minuszeichen doch wieder weg !
Mensch, so geht es einfach NICHT !!
> somit = [mm]-\bruch{7}{48}[/mm] -( -
> [mm]\bruch{1}{12})[/mm] = [mm]-\bruch{1}{16}[/mm]
> aber eine Fläche kann ja nicht minus sein, daher A= +
> [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
> Bin mir aber nicht sicher ob ich hier auch alles richtig
> habe wegen + -
>
> xs= [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{16}}*\integral_{-1}^{0,5}{ x( x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2}) dx}[/mm]
>
> und hier bekomme ich am ende [mm]\bruch{9}{4}[/mm] raus wobei es
> falsch ist, es muss eigentlich - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] rauskommen
> ... und finde meinen fehler nicht. Danke im Voraus.
Naja.
In Zukunft: help yourself ...
Al-Chw.
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Ja sorry hab zu schnell geschrieben, es ist 0,5 und -1 ... doch jetzt weiss ich nicht was ich immernoch falsch gemacht habe... habe da auch -1 eingesetzt... Sie haben eher meine text fehlern gefunden und nicht meine frage beantwortet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Do 15.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Ja sorry hab zu schnell geschrieben, es ist 0,5 und -1 ...
Das sind mehrere Stellen, an denen die Vorzeichen durcheinander gehen. Geh Deine Frage genau durch und prüfe jedes Vorzeichen und erstelle eine korrigierte Version.
> doch jetzt weiss ich nicht was ich immernoch falsch gemacht
> habe...
Das wissen wir auch noch nicht, weil unklar ist, wo ein Schreibfehler und wo ein Rechenfehler vorliegt.
> habe da auch -1 eingesetzt...
Wo, da ist extrem ungenau?
> Sie haben eher meine text fehlern gefunden
Das ist schlicht unwahr. Al hat sich völlig zurückgehalten.
> und nicht meine frage beantwortet.
Das gelingt erst, wenn Du eine Version ohne Schreibfehler bei den Vorzeichen ablieferst. Dann erst lassen sich die Rechenfehler finden. Ich vermute, dass es nur Rechenfehler sind.
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Korrektur:
ich habe hier schon angefangen und habe zuerst f(x)=g(x) gesetzt somit [mm] \Rightarrow x^2+\bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 0 rausbekommen.
Nullstellen berechnet: x= 0,5 und x= -1
Schwerpunktsformel einer ebenen Fläche zwischen den Funktionen lautet:
[mm] xs=\bruch{1}{A} \integral_{a}^{b}{x* (f(x)-g(x)) dx}
[/mm]
Zuerst habe ich A= Fläche ausgerechnet.
A= [mm] \integral_{-1}^{0,5}{ x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2} dx}
[/mm]
= [mm] (\bruch{1}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x)
[/mm]
habe hier 0,5 und -1 eingesetzt somit = [mm] -\bruch{7}{48} [/mm] -( - [mm] \bruch{1}{12}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{16}
[/mm]
aber eine Fläche kann ja nicht minus sein, daher A= + [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
xs= [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{16}}*\integral_{-1}^{0,5}{ x( x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2}) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{16}}*\integral_{-1}^{0,5}{ (x^3+\bruch{1}{2}x^2 - \bruch{1}{2}x) dx}
[/mm]
und hier bekomme ich am ende [mm] \bruch{9}{4} [/mm] raus wobei es falsch ist, es muss eigentlich - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] rauskommen, und ich weiss nicht ob ich schon oben bei der Fläche einen fehler habe oder unten bei xs also bei der schwerpunktsformel ... und finde meinen fehler nicht. Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zuerst habe ich A= Fläche ausgerechnet.
> A= [mm]\integral_{-1}^{0,5}{ x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2} dx}[/mm]
Vorzeichenfehler:
Du hast g(x)-f(x) genommen anstatt f(x)-g(x)
> = [mm](\bruch{1}{3}x^3[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}x^2\ \red+ \ \bruch{1}{2}x)[/mm]
(wieder: Vorzeichenfehler ...)
> habe hier 0,5 und -1 eingesetzt
> somit = [mm]-\bruch{7}{48}[/mm] -( - [mm]\bruch{1}{12})[/mm] = [mm]-\bruch{1}{16}[/mm]
Für deine (falsche) Stammfunktion F mit [mm] F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}$
[/mm]
erhalte ich:
$\ [mm] F\left(\frac{1}{2}\right)\ [/mm] -\ F(-1)\ =\ [mm] \frac{17}{48}\ [/mm] -\ [mm] \left(-\frac{7}{12}\right)\ [/mm] =\ [mm] \frac{15}{16}$
[/mm]
Vergleiche !
> aber eine Fläche kann ja nicht minus sein, daher A= + [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
Statt einfach das Minuszeichen zu unterdrücken, solltest
du dir klar machen, warum es verkehrt herausgekommen
ist. Oben hast du eben statt f(x)-g(x) den Term g(x)-f(x)
als Integrand genommen. Dazu kamen dann noch die
weiteren Rechenfehler ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Fr 16.01.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Korrektur:
>
> ich habe hier schon angefangen und habe zuerst f(x)=g(x)
> gesetzt somit [mm]\Rightarrow x^2+\bruch{1}{2}x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> = 0 rausbekommen.
> Nullstellen berechnet: x= 0,5 und x= -1
Das stimmt
Hast du dir eigentlich mal eine Slizze gemacht?
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Schwerpunktsformel einer ebenen Fläche zwischen den
> Funktionen lautet:
> [mm]xs=\bruch{1}{A} \integral_{a}^{b}{x* (f(x)-g(x)) dx}[/mm]
>
> Zuerst habe ich A= Fläche ausgerechnet.
Wenn du die Funktionen "richtig herum" einsetzt, also die im intervall kleinere Funktion von der größeren subtrahierst, bekommmst du dann ein positives Vorzeichen der Fläche.
Hier betrachte also die Differenzfunktion [mm] e(x)=\left(-x^{2}+\frac{3}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}x+1\right)=-x^{2}+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x-1=-x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}
[/mm]
> A= [mm]\integral_{-1}^{0,5}{ x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2} dx}[/mm]
>
> = [mm](\bruch{1}{3}x^3[/mm] + [mm]%5Cbruch%7B1%7D%7B4%7Dx%5E2[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}x)[/mm]
>
> habe hier 0,5 und -1 eingesetzt somit = [mm]-\bruch{7}{48}[/mm] -( -
> [mm]\bruch{1}{12})[/mm] = [mm]-\bruch{1}{16}[/mm]
Deine Notation ist leider sehr schwammig.
[mm] A=\int\limits_{-1}^{0,5}e(x)dx
[/mm]
[mm] =\int\limits_{-1}^{0,5}\left(-x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)dx
[/mm]
[mm] =\left[-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x\right]_{-1}^{0,5}
[/mm]
[mm] =\left[-\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)\right]-\left[-\frac{1}{3}\cdot\left(-1\right)^{3}-\frac{1}{4}\cdot\left(-1\right)^{2}+\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)\right]
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
[mm] =\frac{9}{16}
[/mm]
Dass eine Fläche von [mm] \frac{1}{16} [/mm] zu klein ist, kättest du auch an der Skizze sehen können.
> aber eine Fläche kann ja nicht minus sein, daher A= +
> [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
>
> xs= [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{16}}*\integral_{-1}^{0,5}{ x( x^2+\bruch{1}{2}x - \bruch{1}{2}) dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{16}}*\integral_{-1}^{0,5}{ (x^3+\bruch{1}{2}x^2 - \bruch{1}{2}x) dx}[/mm]
>
> und hier bekomme ich am ende [mm]\bruch{9}{4}[/mm] raus wobei es
> falsch ist, es muss eigentlich - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] rauskommen,
Tut es dann auch, wenn du korrekt weiterrechnest.
> und ich weiss nicht ob ich schon oben bei der Fläche einen
> fehler habe oder unten bei xs also bei der
> schwerpunktsformel ... und finde meinen fehler nicht.
Du gehst sehr schluderdig mit den Klammern um.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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