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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Sa 13.03.2010 | | Autor: | nooschi |
| Aufgabe | Es sei I ein kompaktes, perfektes Intervall, [mm] $f\in C(I\times [/mm] I, [mm] \IR)$ [/mm] und
$$g: [mm] I\rightarrow \IR, x\mapsto\integral_{I}{f(x,y) dy}.$$ [/mm] zeige, dass [mm] g\in C(I,\IR) [/mm] |
Hallo zusammen
ich habe eine etwas banale Frage: wie ist ein Intervall genau definiert, muss das eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] sein oder kann das zum Beispiel auch eine Teilmenge eines Banachraumes oder so sein?
Für den Rest der Aufgabe brauche ich eigentlich keine Hilfe 
(ich würde gerne den Satz anwenden, dass eine Teilmenge [mm] $I\subset\IK$ [/mm] (mit [mm] \IK [/mm] ist entweder [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] gemeint) genau dann kompakt ist, falls sie beschränkt und abgeschlossen ist. also ich bräuchte das beschränkt für meinen Beweis, was ja nur gegeben wäre wenn [mm] $I\subset\IK$)
[/mm]
danke schonmal für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Sa 13.03.2010 | | Autor: | nooschi |
die Frage hat sich insofern erledigt, dass ich die Aufgabe auch so lösen kann, da ich den Satz gefunden habe:
[mm] $M\subset [/mm] X$ ist kompakt ($X$ ist Vektorraum) [mm] $\Rightarrow [/mm] M$ ist beschränkt
wobei ich mich das mit dem Intervall schon öfters gefragt habe, das heisst, ich wäre immer noch an der Antwort interessiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Sa 13.03.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Es sei I ein kompaktes, perfektes Intervall, [mm]f\in C(I\times I, \IR)[/mm]
> und
> [mm]g: I\rightarrow \IR, x\mapsto\integral_{I}{f(x,y) dy}.[/mm]
> zeige, dass [mm]g\in C(I,\IR)[/mm]
>
> ich habe eine etwas banale Frage: wie ist ein Intervall
> genau definiert, muss das eine Teilmenge von [mm]\IR[/mm] sein oder
> kann das zum Beispiel auch eine Teilmenge eines
> Banachraumes oder so sein?
wie du selbst schon gemerkt hast, in metrischen Raeumen folgt aus kompakt, dass die Menge abgeschlossen und beschraenkt ist.
Und mit Intervall ist eigentlich immer etwas in [mm] $\IR$ [/mm] gemeint, und nur selten etwas in [mm] $\IR^n$. [/mm] Und falls es in einem Banachraum (oder sonstwo) sein sollte, ist es sowas wie $[v, w] = [mm] \{ \lambda v + (1 - \lambda) w \mid \lambda \in [0, 1] \}$, [/mm] womit es ebenfalls beschraenkt ist (und man es durch einen isometrischen Isomorphismus durch $[a, b]$ in [mm] $\IR$ [/mm] ersetzen kann).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Sa 13.03.2010 | | Autor: | nooschi |
ok, dankeschön!!
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