Intervall b Fixpunkiteration < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 20.07.2009 | | Autor: | PCQ |
| Aufgabe | Aufgabe 9:
Bestimmen Sie für jede der folgenden Funktionen ein Intervall in dem die Fixpunktiteration garantiert konvergiert. Berechnen Sie die Anzahl der Iterrationen n die nötig sind, um den gesuchten Fixpunkt [mm] x^{*} [/mm] auf 10−5 zu approimieren
[mm] |x^{∗} [/mm] − [mm] x_{n} [/mm] | ≤ 10−5 .
Implementieren Sie die Fixpunktiteration und tabellieren Sie den Iterations-
verlauf.
(a) g1 (x) = (2 − exp(x) + [mm] x^{2} [/mm] )/3
(b) g2 (x) = [mm] 5/(x^{2} [/mm] ) + 2
(c) g3 (x) = 5−x
(d) g4 (x) = (sin(x) + cos(x))/2
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Vorwort: es geht um ein Verständnisproblem am Beispiel der Aufgabe (d) g4
Guten Abend,
ich möchte ohne den Graphen zu zeigen das Intervall finden in der die Fixpunktiteration garantiert konvergiert.
Die Funktion lautet:
[mm] g(x)=\bruch{1}{2} [/mm] (sin(x)+cos(x))
Ich dachte ich schaue mir dazu die Ableitung an
[mm] g'(x)=\bruch{1}{2} [/mm] (cos(x)-sin(x)) und schaue für welche [mm] x\varepsilon [/mm] [a,b] gilt g'(x) [mm] \le [/mm] 0 (monoton fallend ist)
Ich würde ein Intervall wie z.B: [mm] [{\bruch{\pi}{2}}, \pi] [/mm] wählen. Ich habe ein Ergebnis (leider ohne Rechnung) in dem das Intervall [0,1] angegeben ist. Wenn ich g'(0) rechne, bekomme ich aber [mm] \bruch{1}{2} \ge [/mm] 0 raus...
Es wäre sehr nett wenn jemand mir erklären könnte wie ich das Intervall bestimmen kann (ohne Zeichnung und dann rauspicken..) und ob mein Ansatz falsch ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Mi 22.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> ich möchte ohne den Graphen zu zeigen das Intervall
> finden in der die Fixpunktiteration garantiert konvergiert.
>
> Die Funktion lautet:
> [mm]g(x)=\bruch{1}{2}[/mm] (sin(x)+cos(x))
>
> Ich dachte ich schaue mir dazu die Ableitung an
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{2}[/mm] (cos(x)-sin(x)) und schaue für welche
> [mm]x\varepsilon[/mm] [a,b] gilt g'(x) [mm]\le[/mm] 0 (monoton fallend ist)
Nein, du musst ein Intervall $[a,b]$ finden, sodass [mm] $\max_{x\in[a,b]}|g'(x)|<1$ [/mm] gilt und [mm] $g([a,b])\subset[a,b]$ [/mm] ist.
Gruß, Robert
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