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Forum "Integration" - Intervallgrenze
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Intervallgrenze: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Mi 10.05.2006
Autor: FlorianJ

Aufgabe
Finden Sie einen positiven Wert k so, dass die Fläche unter der Funktion f(x) = [mm] e^{x^{2}} [/mm] über dem Intervall [0,k] den Wert 3 hat.

Guten Tag alle zusammen,
oben zitierte Aufgabe gilt es zu lösen.
Dazu habe ich mir erstmal verdeutlicht:

[mm] \integral_{0}^{k}{xe^{x^{2}} dx} [/mm] = 3

daraufhin Substitution (geht auch ohne, muss diese aber noch lernen)

[mm] x^2=u [/mm]  u'=2x  =>   I=  [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{k}{2x*e^{x^{2}} dx} [/mm]

die Form f(g(x))g'(x) gilt, somit ist meine Stammfunktion

[mm] \bruch{1}{2}e^{k^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}e^{2k} [/mm]

Einsetzen der Intervallgrenzen:

[mm] \bruch{1}{2} e^{2k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} e^{0} [/mm] =3

[mm] \bruch{1}{2} e^{2k} [/mm] - 1 =3

[mm] \bruch{1}{2} e^{2k} [/mm] = 4

[mm] e^{2k} [/mm] = 8

[mm] \bruch{ln(8)}{2} [/mm] = k

ja ich hoffe mal das stimmt so, wenn nicht bitte korrigieren. danke!

Habe die Frage nur hier gestellt!

Gruß Florian

PS: [mm] (a^{x})' [/mm] = [mm] a^{x} [/mm]  a Element  R oder?

        
Bezug
Intervallgrenze: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Mi 10.05.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Florian!


> [mm]\integral_{0}^{k}{xe^{x^{2}} dx}[/mm] = 3

[ok]

  
> daraufhin Substitution (geht auch ohne, muss diese aber
> noch lernen)
>  
> [mm]x^2=u[/mm]  u'=2x  =>   I=  [mm]\bruch{1}{2} \integral_{0}^{k}{2x*e^{x^{2}} dx}[/mm]

[ok] Aufpassen bei bestimmten Integralen mit Substitution:

[aufgemerkt] Entweder zunächst als unbestimmtes Integral lösen, oder die Integrationsgrenzen mitsubstituieren!



> [mm]\bruch{1}{2}e^{k^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}e^{2k}[/mm]

Wie kommst Du auf diese Gleichheit? Das stimmt nicht!

Deine Stammfunktion lautet: [mm] $\integral{x*e^{x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*e^{x^2} [/mm] + c$


> Einsetzen der Intervallgrenzen:
>  
> [mm]\bruch{1}{2} e^{2k}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2} e^{0}[/mm] =3

[notok] Folgefehler!

Ich erhalte (bitte nachrechnen):

$k \ = \ [mm] \wurzel{\ln(7)} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.395$

  
> PS: [mm](a^{x})'[/mm] = [mm]a^{x}[/mm]  a Element  R oder?

Das stimmt so nicht! Für eine beliebige positive Basis $a \ [mm] \in \IR^{\red{+}}$ [/mm] gilt:

[mm] $\left[ \ a^x \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \left(e^{\ln(a)}\right)^x \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{x*\ln(a)} \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}*\ln(a) [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)*a^x$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Intervallgrenze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Mi 10.05.2006
Autor: FlorianJ

hi roadrunner und danke soweit!

[mm] e^{k^{2}} \not= e^{2k} [/mm]
hab mich mit den potenzgesetzen verheddert

nachgerechnet stimmt dein ergebnis natürlich (hatte noch im kopf eine 1 abzuziehen statt der [mm] \bruch{1}{2} [/mm]  

3,5 *2 = [mm] e^{k^{2}}.......... [/mm]

danke!
Bezug
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