Intervallschreibweise < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 So 24.04.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Benutzen Sie bei dieser Aufgabe die Intervallschreibweise.
Bestimmen Sie die Sekantensteigungsfunktion sf;a, untersuchen Sie, ob der Grenzwert lim
x→a
sf;a(x)
in R existiert und zeichnen Sie ihren Graphen f¨ur a = 0, ein a > 0 und ein a < 0.
f(x) := |x|*x für x€ [mm] \IR [/mm] |
Also ich hab mal angefangen, hab aber leichte Schwierigkeiten
Sekantensteiungsfunktion:
Sf,a(x)= [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} [/mm] für x ungleich a.
Dann machen wir ne Fallunterscheidung:
a=0, dann ist Sf,a(x)= [mm] \bruch{f(x)}{x}
[/mm]
f(x) eingesetz ergibt das dann |x| wobei x € (0,+ [mm] \infty)
[/mm]
und - |x| ist x€ (0,+ [mm] \infty)
[/mm]
Zweiter Schritt:
a>0 ist Sf,a(x)= [mm] \bruch{|x|*x-|a|*a}{x-a}
[/mm]
Nun weiß ich nicht mehr so recht was ich machen soll. Ich weiß nicht, ob das a größer oder kleiner x ist, und da im Zähler das a ja Multipliziert wird, ist er folglich immer größer als der Nenner...vielleicht kann einer mir weiter helfen, uch beim Schritt wo a<0 ist...danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Mo 25.04.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
als erstes musst Du ja untersuchen ob der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{|x|*x-|a|*a}{x-a} [/mm] existiert.
Wenn a>0 ist kann man auch x>0 wählen und es folgt [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{|x|*x-|a|*a}{x-a}=\limes_{x\rightarrow a}\bruch{x^2-a^2}{x-a}=\limes_{x\rightarrow a}(x+a)=2a
[/mm]
So ähnlich geht das auch für a<0, hier muss man beachten das gilt |a|=-a.
Für a=0 gilt [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{|x|*x-|a|*a}{x-a}=\limes_{x\rightarrow 0 }|x|=0
[/mm]
D.h. die Grenzwerte existieren.
Für die Sekantensteigung [mm] Sf_a(x)=\bruch{|x|*x-|a|*a}{x-a} [/mm] gilt
[mm] Sf_a(x)=\begin{cases} x+a, & \mbox{wenn } a>0 \mbox{ und } x > 0 \\ -\bruch{x^2+a^2}{x-a}, & \mbox{wenn } a>0 \mbox{ und } x \le 0 \\ \bruch{x^2+a^2}{x-a}, & \mbox{wenn } a \le 0 \mbox{ und } x > 0 \\ -(x+a), & \mbox{wenn } a \le 0 \mbox{ und } x \le 0 \end{cases}
[/mm]
Damit kann man den Graph auch zeichnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 26.04.2011 | | Autor: | durden88 |
Danke Ullim für deine ausführliche Antwort.
Nun, ich habe jetzt meine vier Funktionen, aber dennoch ist mein a immer noch undefiniert bzw. mein Geogebra kann damit keine Funktion zeichnen.
Muss ich im nächsten Schritt noch die Gleichungen gleichsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Di 26.04.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Funktion [mm] Sf_a(x) [/mm] hängt ja von zwei Größen ab, von x und a. Ich würde die Funktion [mm] Sf_a(x) [/mm] für exemplarische Werte von a als Funktion von x zeichen (einmal a>0 z.B. a=5, einmal a=0 und einmal für a<0 z.B. a=-5). Der Wert a wird ja auch als Parameter betrachtet.
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