Invarianter Unterraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Seien [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] Eigenwerte eines Endomorphismus f eines endlichdimensionalen Vektorraumes V und sei [mm] h_1 [/mm] := [mm] (f-\lambda_1*id).
[/mm]
Zeigen Sie: Der Eigenraum [mm] E_f(\lambda_2) [/mm] ist ein [mm] h_1-invarianter [/mm] Unterraum von V. |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich zum Ziel, bisher habe ich nur folgendes:
Zu zeigen: [mm] h_1(E_f(\lambda_2)) \subseteq E_f(\lambda_2)
[/mm]
Sei [mm] v\in h_1(E_f(\lambda_2)).
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists w\in E_f(\lambda_2), [/mm] sodass gilt [mm] h_1(w) [/mm] = v = [mm] (f-\lambda_1*id)(w)
[/mm]
...
Ich weiß, dass ich darauf kommen muss, dass f(v) = [mm] \lambda_2*v [/mm] , da daraus folgt, dass [mm] v\in E_f(\lambda_2), [/mm] ich habe aber keine wirkliche Idee wie. Da [mm] w\in E_f(\lambda_2) [/mm] gilt f(w) = [mm] \lambda_2*w, [/mm] aber ich kann damit irgendwie nichts anfangen. Wahrscheinlich sehe ich irgendetwas Offensichtliches nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 20.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Zero_112,
> Zu zeigen: [mm]h_1(E_f(\lambda_2)) \subseteq E_f(\lambda_2)[/mm]
>
> Sei [mm]v\in h_1(E_f(\lambda_2)).[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists w\in E_f(\lambda_2),[/mm] sodass gilt [mm]h_1(w)[/mm]
> = v = [mm](f-\lambda_1*id)(w)[/mm]
> ...
>
> Ich weiß, dass ich darauf kommen muss, dass f(v) =
> [mm]\lambda_2*v[/mm] , da daraus folgt, dass [mm]v\in E_f(\lambda_2),[/mm]
> ich habe aber keine wirkliche Idee wie. Da [mm]w\in E_f(\lambda_2)[/mm]
> gilt f(w) = [mm]\lambda_2*w,[/mm] aber ich kann damit irgendwie
> nichts anfangen. Wahrscheinlich sehe ich irgendetwas
> Offensichtliches nicht...
Sieht alles sehr gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hast du schon mit
[mm] $f(v)=f((f-\lambda_1*id)(w))=\ldots$
[/mm]
angesetzt?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
> Hast du schon mit
>
> [mm]f(v)=f((f-\lambda_1*id)(w))=\ldots[/mm]
>
> angesetzt?
Ja, das habe ich schon versucht, nur verstehe ich nicht wirklich, was da herauskommen soll, da mir nicht klar ist, was [mm] (f-\lambda_1*id)(w) [/mm] außer v noch ergibt. [mm] w\in E_f(\lambda_2), [/mm] das heißt ja, dass [mm] (f-\lambda_2*id)(w) [/mm] = 0 wäre, aber was macht [mm] (f-\lambda_1*id) [/mm] mit w ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Sa 20.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Hast du schon mit
> >
> > [mm]f(v)=f((f-\lambda_1*id)(w))=\ldots[/mm]
> >
> > angesetzt?
>
> Ja, das habe ich schon versucht, nur verstehe ich nicht
> wirklich, was da herauskommen soll, da mir nicht klar ist,
> was [mm](f-\lambda_1*id)(w)[/mm] außer v noch ergibt. [mm]w\in E_f(\lambda_2),[/mm]
> das heißt ja, dass [mm](f-\lambda_2*id)(w)[/mm] = 0 wäre, aber was
> macht [mm](f-\lambda_1*id)[/mm] mit w ?
Ah ok, daran hakt es also. Du benötigst hier natürlich die Definition von [mm] $f-\lambda_1*id$. [/mm] Das ist die Abbildung
[mm] $V\to V,\quad u\mapsto f(u)-\lambda_1*id(u)$.
[/mm]
Kommst du damit schon weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
Ja, habs hinbekommen. Danke :)
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