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Forum "Stochastik-Sonstiges" - Inverse
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Inverse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Di 26.02.2008
Autor: hasso

Hallo,

es ist ein Lineares Gleichungssystem gegeben

1 2 2 |11
2 1 1 |7
1 4 1 |15

Im Buch steht: Lösen Sie dieses Problem mit Hilde der Inverse über Gleichung A^-1*b!

Ich kann das ja auch mit gauß und Cramesche regel lösen. das ist aber nicht gefragt.

Ich hab noch in erinnerung dass das mit der Inverse irgendwie so geht.
+ - +
1 2 2 |11
- + -
2 1 1 |7
+ - +
1 4 1 |15

+1 | 1*1 - 4*1=-3
-2  | 2*1 - 1*1=-2
+2 | 2*4 - 1*1=14

-3-2+14
= 9

Weiter weiß ich auch nicht .. kann mir jemand auf die sprünge helfen.

Gruß hasso

        
Bezug
Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Di 26.02.2008
Autor: schachuzipus

Hallo hasso,

es gibt []hier eine Formel für die Berechnung der Inversen von [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen (einfach und gut zu merken) und für [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen (Horror ;-))    



zur Bestimmung der Inversen [mm] $A^{-1}$ [/mm] zu einer Matrix $A$ würde ich dir folgendes Verfahren empfehlen, das klappt immer (wenn $A$ invertierbar ist) und ist leicht zu merken.


Schreibe neben die Matrix A die Einheitsmatrix hin und forme A mit elementaren Zeilenumformungen um in die Einheitsmatrix.

Dieselben Umformungen mache an der nebenstehenden Einheitsmatrix.

Das liefert dir die Invere von A

Wenn du dem obigen link folgst, findest du dazu auch ein Bsp.

Ich mache mal für deine Matrix einen Anfang

[mm] $\pmat{1&2&2&|&1&0&0\\2&1&1&|&0&1&0\\1&4&1&|&0&0&1}$ [/mm]

Hier müssen wir also die linke Matrix (A) in die Einheitsmatrix überführen, machen glz. dieselben Umformungen an der rechtsstehenden Einheitsmatrix

Beginnen wir so: Addieren wir das -2fache der ersten Zeile zur 2-Zeile und addieren wir das -1fache der 1.Zeile zur 3.Zeile. Das liefert:

[mm] $\pmat{1&2&2&|&1&0&0\\0&-3&-3&|&-2&1&0\\0&2&-1&|&-1&0&1}$ [/mm]

Schema klar geworden?

Versuch's mal weiter..

Alternativ kannst du für deine [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix natürlich die Formel, die bei dem obigen link steht, anwenden, ich bezweifle aber, dass das schneller geht ;-)

Lieben Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Inverse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Di 26.02.2008
Autor: hasso

hallo schauchuzipus..

ich bevorzuge eher das Verfahren mit det. weil ich das eigentlich schon kann.. nur vergessen habe welche schritte folgen .. trozdem danke für die andere Methode. Weiß du denn was man danach machen muss ich hab ya den ersten schritt schon gemacht welcher folgt danach?


gruß hasso
Bezug
                        
Bezug
Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Di 26.02.2008
Autor: angela.h.b.


> ich bevorzuge eher das Verfahren mit det. weil ich das
> eigentlich schon kann.. nur vergessen habe welche schritte
> folgen .. trozdem danke für die andere Methode. Weiß du
> denn was man danach machen muss ich hab ya den ersten
> schritt schon gemacht welcher folgt danach?

Hallo,

was Du in Deinem Eingangspost tust, kann ich nicht verstehen, was möglicherweise daher kommt, daß ich es nicht vernünftig lesen kann.

Auf jeden Fall hast Du eine invertierbare Matrix A, und Du sollst lt. Aufgabe mithilfe der Inversen die Gleichung [mm] Ax=\vektor{11 \\ 7\\15} [/mm] lösen.

Da mußt Du erstmal irgendwie [mm] A^{-1} [/mm] berechnen, was recht bequem mit Gauß funktioniert, oder mit der []Adjunkten.
(Möglicherweise meintest Du das in Deinem Post.)

Dann tust Du folgendes  [mm] x=A^{-1}Ax=A^{-1}\vektor{11 \\ 7\\15}, [/mm]

Du mußt also für die Lösung den Vektor auf der rechten Seite mit [mm] A^{-1} [/mm] multiplizieren.

Gruß v. Angela
Bezug
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