Inverse = Matrixpolynom < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mi 26.04.2017 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Sei [mm] T\in \IR^{n,n} [/mm] symmetrisch und positiv definit. Zeigen Sie, dass es ein Polynom p vom Grad kleiner oder gleich n-1 gibt, so dass
[mm] T^{-1}=p(T) [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
ich weiß nicht genau wie ich da heran gehen soll.
Was weiß ich :
Matrixpolynom : [mm] p(A)=\sum^{n}_{i=0}a_iA^i=a_0*I+a_1*A^1+...+a_n*A^n
[/mm]
Da T symmetrisch und positiv definit ist gilt, dass alle EW [mm] \lambda \le [/mm] 0 und T ist diagonalisierbar und es ex eine invertierbare Matrix S : S^-1AS=D, wobei in S die EV [mm] x_i [/mm] zu den EW [mm] \lambda_i [/mm] von T stehen [mm] S=(x_1 [/mm] | ... | [mm] x_n [/mm] ) und [mm] D=diag\{\lambda_1,...,\lambda_n\}.
[/mm]
[mm] p(T)=p(S^{-1}DS) [/mm] = [mm] \sum^{n}_{i=0}a_i(S^{-1}DS)^i [/mm] = [mm] a_0*I+a_1(S^{-1}DS)+a_2*(S^{-1}DS)^2+a_3*(S^{-1}DS)^3+...+a_n*(S^{-1}DS)^n [/mm]
[mm] =a_0*I+a_1(S^{-1}DS)+a_2*(S^{-1}DS)*(S^{-1}DS)+a_3*(S^{-1}DS)*(S^{-1}DS)*(S^{-1}DS)+...a_n*(S^{-1}DS)*...*(S^{-1}DS)
[/mm]
[mm] =a_0*I+a_1(S^{-1}D*S)+a_2*(S^{-1}D*D*S)+a_3*(S^{-1}D*D*D*S)+...+a_n*S*D^n*S^{-1}
[/mm]
bringt mir das irgendwas?
Oder über das Charakteristische Polynom...
Frage : char.Polynom einer nxn-Matrix ist hat doch immer den Grad n. oder?
Momentan glaube ich, dass das totaler Quatsch ist. Habt ihr da vielleicht mal Hilfe für einen Ansatz?
Danke ihr Lieben!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:52 Do 27.04.2017 | | Autor: | fred97 |
1. Ist $T$ sym. und positiv definit, so sind alle Eigenwerte >0. (Und nicht [mm] \le [/mm] 0 , wie Du geschrieben hast).
Damit ist 0 kein Eigenwert, also ist T invertierbar.
2. Sei [mm] c(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+....+a_1t+a_0 [/mm] das char. Polynom von T.
Da 0 kein Eigenwert von T ist, ist [mm] a_0=c(0) \ne [/mm] 0.
3. Cayley - Hamilton liefert:
[mm] 0=c(T)=T^n+a_{n-1}T^{n-1}+....a_1T+a_0I.
[/mm]
Jetzt multipliziere die letzte Gleichung mit [mm] T^{-1} [/mm] durch, dividiere dann durch [mm] a_0 [/mm] und löse nach [mm] T^{-1} [/mm] auf. Fertig !
Bemerkung: nirgends haben wir die Symmetrie von T gebraucht, auch nicht, dass T nur positive Eigenwerte hat.
Das Resultat ist also für jede invertierbare Matrix richtig.
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