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| Aufgabe | Sei $U [mm] \subset \IR^2$ [/mm] die Menge der $(p, q)$, für die die Gleichung $x^22+px+q = 0$ zwei verschiedene reelle
Lösungen hat. Man mache sich zunächst klar, dass U offen ist. Bezeichne mit [mm] $x_{p,q}$ [/mm] bzw. [mm] $y_{p,q}$ [/mm] die
größere bzw. die kleinere dieser Lösungen.
Nun wird $f : U [mm] \rightarrow \IR^2$ [/mm] durch $(p, [mm] q)\mapsto (x_{p,q}, y_{p,q})$ [/mm] definiert.
An welchen Stellen ist f lokal invertierbar, und wie sieht da die inverse Abbildung aus? |
Hallo erstmal! Bei dieser Aufgabe stehe ich an einer Stelle auf dem Schlauch!
Wie kann ich die inverse Abbildung bestimmen? Mit dem Satz von der inversen Abbildung kann ich doch nur die Jacobi-Matrix derselben bestimmen, oder?
Also, damit f bei [mm] $x_0$ [/mm] invertierbar ist, muss gelten, dass $det [mm] (J_f (x_0) [/mm] ) [mm] \neq [/mm] 0$. Es ist [mm] $J_f [/mm] (p,q) = [mm] \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 + \frac{p}{2 \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}} & - \frac{1}{\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}}
\\ -1 - \frac{p}{2 \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}} & \frac{1}{\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}} \end{pmatrix} [/mm] $.
Da ist die Determinante immer ungleich 0, da $det [mm] J_f [/mm] (p,q) = - [mm] \frac{2}{\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}} [/mm] .$
Also ist f für alle (p,q) invertierbar, aber wie kriege ich die Inverse Abbildung?
Für einen Tipp oder Lösungsansatz wäre ich wie immer sehr dankbar!
Schönes WE!!!
Ole
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Di 20.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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