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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Inverse/Blockmatrix
Inverse/Blockmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inverse/Blockmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Sa 18.08.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, [mm] n_1, n_2 \in \IN [/mm] und n:= [mm] n_1 [/mm] + [mm] n_2 [/mm]
[mm] \{ \pmat{ A & B \\ 0 & D } \in M_{n \times n } (\IK) | A \in M_{n_1 \tmes n_1} (\IK), D \in M_{n_2 \times n_2} (\IK), B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \} [/mm]
Zeige dass eine Matrix dieser Form invertierbar ist, falls A und D beide invertierbar sind.

Hallo,
Die eine Richtung habe ich
Sei A,D invertierbar
[mm] \pmat{ A & B \\ 0 & D } [/mm] * [mm] \pmat{ A^{-1} & -A^{-1}B D^{-1} \\ 0 & D^{-1} } [/mm] = [mm] \pmat{ I_{n_1} & 0 \\ 0 & I_{n_2} } [/mm]  = [mm] I_n [/mm]
->daraus folgt [mm] \pmat{ A & B \\ 0 & D } [/mm] ist invertierbar

- die zweite Richtung fehlt mir.

Sei [mm] \pmat{ A & B \\ 0 & D } [/mm] invertierbar so ist zuzeigen, dass A & D invertierbar sind.

Ist [mm] \pmat{ A & B \\ 0 & D } [/mm] invertierbar so hat die Matrix vollen Rang und es sind alle Zeilen wie auch Spalten linear unabhängig.
Ich verstehe nicht wie man nun auf die Invertierbarkeit von A & D schließen kann


        
Bezug
Inverse/Blockmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Sa 18.08.2012
Autor: wieschoo

Hi,
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, [mm]n_1, n_2 \in \IN[/mm] und n:= [mm]n_1[/mm] + [mm]n_2[/mm]
>  [mm]\{ \pmat{ A & B \\ 0 & D } \in M_{n \times n } (\IK) | A \in M_{n_1 \tmes n_1} (\IK), D \in M_{n_2 \times n_2} (\IK), B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}[/mm]
>  
> Zeige dass eine Matrix dieser Form invertierbar ist, falls
> A und D beide invertierbar sind.
>  Hallo,
>  Die eine Richtung habe ich
> Sei A,D invertierbar
>  [mm]\pmat{ A & B \\ 0 & D }[/mm] * [mm]\pmat{ A^{-1} & -A^{-1}B D^{-1} \\ 0 & D^{-1} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ I_{n_1} & 0 \\ 0 & I_{n_2} }[/mm]  = [mm]I_n[/mm]
>  ->daraus folgt [mm]\pmat{ A & B \\ 0 & D }[/mm] ist invertierbar
>  
> - die zweite Richtung fehlt mir.
>  
> Sei [mm]\pmat{ A & B \\ 0 & D }[/mm] invertierbar so ist zuzeigen,
> dass A & D invertierbar sind.
>  
> Ist [mm]\blue{\pmat{ A & B \\ 0 & D }=:M}[/mm] invertierbar so hat die Matrix
> vollen Rang und es sind alle Zeilen wie auch Spalten linear
> unabhängig.
> Ich verstehe nicht wie man nun auf die Invertierbarkeit von
> A & D schließen kann

Hast du doch schon geschrieben:

> Ist M invertierbar so hat die Matrix M
> vollen Rang und es sind alle Zeilen wie auch Spalten linear
> unabhängig.

Damit sind insbesondere alle Spalten von A linear unabhängig.
Damit sind insbesondere alle Zeilen von D linear unabhängig.

Bezug
                
Bezug
Inverse/Blockmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 So 19.08.2012
Autor: quasimo

Hallo, danke für die Antwort.


Aber wieso sind die von der Matrix B nicht auch linear unabhängig? Oder sind sie es dann eh?

LG

Bezug
                        
Bezug
Inverse/Blockmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:21 Mo 20.08.2012
Autor: fred97


> Hallo, danke für die Antwort.
>  
>
> Aber wieso sind die von der Matrix B nicht auch linear
> unabhängig? Oder sind sie es dann eh?

Nein. Schau Dir mal den Fall B=0 an.

FRED

>  
> LG


Bezug
        
Bezug
Inverse/Blockmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 So 19.08.2012
Autor: ms2008de

Hallo,
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, [mm]n_1, n_2 \in \IN[/mm] und n:= [mm]n_1[/mm] + [mm]n_2[/mm]
>  [mm]\{ \pmat{ A & B \\ 0 & D } \in M_{n \times n } (\IK) | A \in M_{n_1 \tmes n_1} (\IK), D \in M_{n_2 \times n_2} (\IK), B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}[/mm]
>  
> Zeige dass eine Matrix dieser Form invertierbar ist, falls
> A und D beide invertierbar sind.

Mal so als Tipp, in solch einer Blockmatrix [mm] I_{n} [/mm] (,wie dus genannt hast,) gilt: [mm] det(I_{n})= [/mm] det(A)*det(D). Und eine Matrix ist nunmal invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Ein Produkt wird 0, wenn mind. ein Faktor 0 ist. Also wäre nur noch zu zeigen, dass [mm] det(I_{n})= [/mm] det(A)*det(D) ist ;-).

Viele Grüße

Bezug
                
Bezug
Inverse/Blockmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:03 Mo 20.08.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  > Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, [mm]n_1, n_2 \in \IN[/mm] und n:= [mm]n_1[/mm] + [mm]n_2[/mm]

>  >  [mm]\{ \pmat{ A & B \\ 0 & D } \in M_{n \times n } (\IK) | A \in M_{n_1 \tmes n_1} (\IK), D \in M_{n_2 \times n_2} (\IK), B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}[/mm]
>  
> >  

> > Zeige dass eine Matrix dieser Form invertierbar ist, falls
> > A und D beide invertierbar sind.
>  Mal so als Tipp, in solch einer Blockmatrix [mm]I_{n}[/mm] (,wie
> dus genannt hast,) gilt: [mm]det(I_{n})=[/mm] det(A)*det(D). Und
> eine Matrix ist nunmal invertierbar, wenn die Determinante
> ungleich 0 ist. Ein Produkt wird 0, wenn mind. ein Faktor 0
> ist. Also wäre nur noch zu zeigen, dass [mm]det(I_{n})=[/mm]
> det(A)*det(D) ist ;-).


????  Mit [mm] I_n [/mm] ist die nxn - Einheitsmatrix gemeint !

FRED

>  
> Viele Grüße


Bezug
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