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Forum "Laplace-Transformation" - Inverse L-Transf Faltungssatz
Inverse L-Transf Faltungssatz < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inverse L-Transf Faltungssatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:25 Di 06.11.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gesucht ist die Funktion f(t) zu F(s)

F(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2} [/mm]

Moin Moin,

ich habe noch einen Post eröffnet; vielleicht traut sich jetzt jemand da ran?!


Soviel ich verstanden habe besagt der Faltungssatz

L (f(t)) * L(g(t)) = L(f(t)*g(t))

mit f(t)*g(t) = [mm] \integral_{0}^{t}{f(t-\vartheta)*g(\vartheta) d\vartheta} [/mm]


Ich zerlege F(s) in die Faktoren

F(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2} [/mm]


F(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2}*\bruch{1}{(s-3)^2} [/mm]


Die Korrespondenztabelle liefert

[mm] \bruch{1}{(s+a)^2} [/mm]  <--->  [mm] t*e^{-at} [/mm]   bzw.   [mm] \bruch{1}{(s+3)^2} [/mm]  <--->  [mm] t*e^{-3t} [/mm]

[mm] \bruch{1}{(s-a)^2} [/mm]  <---> [mm] t*e^{at} [/mm]   bzw.   [mm] \bruch{1}{(s-3)^2} [/mm]  <---> [mm] t*e^{3t} [/mm]

=>

= [mm] \integral_{0}^{t}{(t-\vartheta)*e^{-3*(t-\vartheta)}*t*e^{3\vartheta}d\vartheta} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{t}{(t*e^{-3t+3*\vartheta}-\vartheta*e^{-3*t+3*\vartheta})*t*e^{3\vartheta}d\vartheta} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{t}{(t^2*e^{-3t+6*\vartheta}-\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta})d\vartheta} [/mm]


= [mm] [\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}{\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}d\vartheta} [/mm]

partielle Integration mit

u = [mm] \vartheta*t [/mm]    v' = [mm] e^{-3*t+6*\vartheta} [/mm]

u' = t   v = [mm] \bruch{1}{6}*e^{-3*t+6*\vartheta} [/mm]

= [mm] [\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] - [mm] ([\bruch{1}{6}*\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}{t*\bruch{1}{6}*e^{-3*t+6*\vartheta} d\vartheta}) [/mm]

= [mm] [\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] - [mm] [\bruch{1}{6}*\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] + [mm] [\bruch{1}{36}*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm]

= [mm] [e^{-3t+6\vartheta}*(\bruch{1}{6}*t^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*\vartheta*t [/mm] + [mm] \bruch{1}{36}*t)]_0^{t} [/mm]

= [mm] (e^{-3t+6*t}*(\bruch{1}{6}*t^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*t*t [/mm] + [mm] \bruch{1}{36}*t) [/mm] - [mm] (e^{-3t+6*0}*(\bruch{1}{6}*t^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*0*t [/mm] + [mm] \bruch{1}{36}*t) [/mm]

= [mm] \bruch{1}{36}*t*e^{3t} -\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{36}*t*e^{-3t} [/mm]


richtig?


Danke und Gruß!

        
Bezug
Inverse L-Transf Faltungssatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 08.11.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Inverse L-Transf Faltungssatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:00 Do 08.11.2018
Autor: hase-hh

Gesucht ist die Funktion f(t) zu F(s)

F(s) = [mm]\bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2}[/mm]

Moin Moin,

vielleicht traut sich jetzt jemand da ran?!

Soviel ich verstanden habe besagt der Faltungssatz
  
L (f(t)) * L(g(t)) = L(f(t)*g(t))

mit f(t)*g(t) = [mm]\integral_{0}^{t}{f(t-\vartheta)*g(\vartheta) d\vartheta}[/mm]
  
Ich zerlege F(s) in die Faktoren

F(s) = [mm]\bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2}[/mm]


F(s) = [mm]\bruch{1}{(s+3)^2}*\bruch{1}{(s-3)^2}[/mm]
  

Die Korrespondenztabelle liefert

[mm]\bruch{1}{(s+a)^2}[/mm]  <--->  [mm]t*e^{-at}[/mm]   bzw.  
[mm]\bruch{1}{(s+3)^2}[/mm]  <--->  [mm]t*e^{-3t}[/mm]
  
[mm]\bruch{1}{(s-a)^2}[/mm]  <---> [mm]t*e^{at}[/mm]   bzw.  
[mm]\bruch{1}{(s-3)^2}[/mm]  <---> [mm]t*e^{3t}[/mm]
  
=>

= [mm]\integral_{0}^{t}{(t-\vartheta)*e^{-3*(t-\vartheta)}*t*e^{3\vartheta}d\vartheta}[/mm]

= [mm]\integral_{0}^{t}{(t*e^{-3t+3*\vartheta}-\vartheta*e^{-3*t+3*\vartheta})*t*e^{3\vartheta}d\vartheta}[/mm]

=
[mm]\integral_{0}^{t}{(t^2*e^{-3t+6*\vartheta}-\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta})d\vartheta}[/mm]
  
= [mm][\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{t}{\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}d\vartheta}[/mm]
  
partielle Integration mit
  
u = [mm]\vartheta*t[/mm]    v' = [mm]e^{-3*t+6*\vartheta}[/mm]
  
u' = t   v = [mm]\bruch{1}{6}*e^{-3*t+6*\vartheta}[/mm]
  
= [mm][\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] -  [mm]([\bruch{1}{6}*\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{t}{t*\bruch{1}{6}*e^{-3*t+6*\vartheta} d\vartheta})[/mm]
  
= [mm][\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] - [mm][\bruch{1}{6}*\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] + [mm][\bruch{1}{36}*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm]
  
= [mm][e^{-3t+6\vartheta}*(\bruch{1}{6}*t^2[/mm] -  [mm]\bruch{1}{6}*\vartheta*t[/mm] + [mm]\bruch{1}{36}*t)]_0^{t}[/mm]
  
= [mm](e^{-3t+6*t}*(\bruch{1}{6}*t^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}*t*t[/mm] + [mm]\bruch{1}{36}*t)[/mm] - [mm](e^{-3t+6*0}*(\bruch{1}{6}*t^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}*0*t[/mm] + [mm]\bruch{1}{36}*t)[/mm]

= [mm]\bruch{1}{36}*t*e^{3t} -\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t}[/mm] - [mm]\bruch{1}{36}*t*e^{-3t}[/mm]


richtig?
  

Danke und Gruß!


Bezug
                
Bezug
Inverse L-Transf Faltungssatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mo 12.11.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Laplace-Transformation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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