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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Fr 04.09.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Ich habe eine Frage zur Bestimmung einer inversen Matrix mit Hilfe der LR- Zerlegung.
Also ich habe folgende Matrix:
A= [mm] \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 5 & 10 \\3 & 10 & 26\end{pmatrix}, [/mm] die habe ich zerlegt in
L= [mm] \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 0 \\3 & 4 & 1\end{pmatrix} [/mm] und R= [mm] \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 4 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt soll ich [mm] A^{-1} [/mm] mit Hilfe der LR-Zerlegung bestimmen.
Ich habe in meiner Mitschrift folgenden Ansatz stehen:
[mm] L*R*x_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, L*R*x_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, L*R*x_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] A^{-1}=(x_{1},x_{2},x_{3})
[/mm]
So. So wie ich das sehe, soll ich jetzt für jedes x ein Gleichungssystem aufstellen und einzeln berechnen, d.h.
[mm] \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & | 1 \\2 & 5 & 10 & | 0 \\3 & 10 & 26 & | 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & | 1 \\0 & 1 & 4 & | -2 \\0 & 0 & 1 & | 5 \end{pmatrix} [/mm] und daraus folgt die erste Spalte meiner Inversen Matrix, nämlich [mm] A^{-1}= \begin{pmatrix}30 & * & * \\-22 & * & * \\5 & * & *\end{pmatrix}
[/mm]
Ist das so richtig? Wäre es nicht einfacher, wenn ich es mit dem Gauß-Seidel-verfahren machen würde und alle x gleichzeitig berechnen würde, also so: [mm] \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & | 1 & 0 & 0 \\2 & 5 & 10 & | 0 & 1 & 0 \\3 & 10 & 26 & | 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich bin am zweifeln, weil in der Aufgabenstellung steht, dass ich es mit der LR-Zerlegung machen soll. Vielleicht weiß ja einer hier was.
Bin über jede Hilfe dankbar.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Fr 04.09.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> L= [mm]\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 0 \\3 & 4 & 1\end{pmatrix}[/mm]
> und R= [mm]\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 4 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
Die Matrix $L$ muss eine untere Dreiecksmatrix sein. Das ist bei dir aber nicht der Fall (siehe erste Zeile). Du hast dich wahrscheinlich verrechnet.
> Jetzt soll ich [mm]A^{-1}[/mm] mit Hilfe der LR-Zerlegung
> bestimmen.
>
> Ich habe in meiner Mitschrift folgenden Ansatz stehen:
>
> [mm]L*R*x_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, L*R*x_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, L*R*x_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]A^{-1}=(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm]
Wenn du den obigen Fehler in der Matrix L korrigiert hast, kannst du einfach nach den [mm] $x_i,\ [/mm] i=1,2,3,$ umstellen: [mm] $x_i [/mm] = [mm] R^{-1}L^{-1} e_i$. [/mm] Die Inversen von Dreiecksmatrizen sind ja sehr einfach zu bestimmen.
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Fr 04.09.2009 | | Autor: | tynia |
Du Hast recht, habe mich bei der mAtrix vertan. Es müsste lauten: [mm] L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0 \\3 & 4 & 1\end{pmatrix}
[/mm]
Wie man eine Inverse Matrix berechnet weiß ich ja, mein Problem ist einfach, warum mache ich das nicht mit dem Gauß-Jordan-Verfahren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Fr 04.09.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
im Gauß-Jordan-Verfahren wird die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Stufenform gebracht oder spezieller auf obere Dreickecksform.
Die LR-Zerlegung bringt die Matrix ebenso auf Dreiecksform, R, und speichert zusätzlich die Rechenoperationen in der Matrix L. Nach der LR-Zerlegung gilt [mm] $R\cdot x=L^{-1}\cdot [/mm] b$. Linke und rechte Seite stimmen (bis auf Vielfaches) mit dem Ergebnis des Gauß-Jordan-Algorithmus überein.
Der Vorteil der LR-Zerlegung gegenüber dem (Standard-)Gauß-Jordan-Verfahren ist die Speicherung der Rechenoperationen in L.
Gruß, zetamy
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