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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 So 17.11.2013 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass A eine reguläre Matrix ist und bestimmen Sie die Inverse Matrix A ^-1. Das Ergebnis ist anhand der Beziehung A^-1 * A = A * A^-1 = E zu überprüfen.
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 } [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe kommen mir ein paar Fragen auf.
Meine Vorgehensweise ist:
- Determinant von A ausrechnen = 6 ( detA = 0 singulär , datA ungleich 0 regulär und somit invertierbar.
- dann erzeuge ich 9 Unterdeterminaten und erhalte
[mm] \pmat{ 4 & -2 & -1 \\ 8 & -4 & 5 \\ -6 & 6 & 3 }
[/mm]
dann berücksichtige ich die vorzeichen und ändere diese entsprechen (-1)^ik * Dik oder einfach nach dem Schachbrettmuster und erhalte
[mm] \pmat{ 4 & 2 & -1 \\ -8 & -4 & -5 \\ -6 & 6 & 3 }
[/mm]
danach muss ich das ganze noch transponieren oder auch adjungieren (wo ist da der Unterschied ?)
So erhalte ich [mm] \pmat{ 4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 6 \\ -1 & -5 & 3 }
[/mm]
Nun lautet die Formel ja A^-1 = [mm] \bruch{1}{detA=6} [/mm] * A adj.
Da wäre ja dann auch die Lösung:
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \pmat{ 4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 6 \\ -1 & -5 & 3 }
[/mm]
Aber
1. beudetet A adjungiert = A transponiert, mit 9 Unterdeterminaten umgebaut + mit hilfe des algebraischen komplementes die vorzeichen getauscht ?
2.was mache ich nun ? wie verrechne ich die [mm] \bruch{1}{6} [/mm] jetzt mit meinem Aadj. ? Genauso wie eine Matrix mit einem skalar multipliziert wird ?
3. Ich muss ja jetzt laut Aufgabenstellung:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 } [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \pmat{ 4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 6 \\ -1 & -5 & 3 } [/mm] = E rechnen, nur wie mache ich das ? habe nun schon diverse Schritte durchgeführt und da ich nich auf E komme, weiß ich nicht wie ich was machen muss.
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> Zeigen Sie, dass A eine reguläre Matrix ist und bestimmen
> Sie die Inverse Matrix A ^-1. Das Ergebnis ist anhand der
> Beziehung A^-1 * A = A * A^-1 = E zu überprüfen.
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 }[/mm]
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe kommen mir ein paar Fragen auf.
>
> Meine Vorgehensweise ist:
>
> - Determinant von A ausrechnen = 6 ( detA = 0 singulär ,
> datA ungleich 0 regulär und somit invertierbar.
Hallo,
ja.
>
> - dann erzeuge ich 9 Unterdeterminaten und erhalte
>
> [mm]\pmat{ 4 & -2 & -1 \\ 8 & -4 & 5 \\ -6 & 6 & 3 }[/mm]
Ja
>
> dann berücksichtige ich die vorzeichen und ändere diese
> entsprechen (-1)^ik * Dik oder einfach nach dem
> Schachbrettmuster und erhalte
>
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & -1 \\ -8 & -4 & -5 \\ -6 & 6 & 3 }[/mm]
Ja.
>
>
> danach muss ich das ganze noch transponieren oder auch
> adjungieren (wo ist da der Unterschied ?)
Du mußt es transponieren.
(Beim Adjungieren einer Matrix mit komplexen Einträgen transponiert man und bildet bei jedem Eintrag das konjugiert komplexe.)
>
>
> So erhalte ich [mm]\pmat{ 4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 6 \\ -1 & -5 & 3 }[/mm]
>
>
> Nun lautet die Formel ja A^-1 = [mm]\bruch{1}{detA=6}[/mm] * A adj.
>
>
> Da wäre ja dann auch die Lösung:
>
[mm] A^{-1}=
[/mm]
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\pmat{ 4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 6 \\ -1 & -5 & 3 }[/mm]
Genau.
>
>
>
> Aber
>
> 1. bedeutet A adjungiert = A transponiert, mit 9
> Unterdeterminaten umgebaut + mit hilfe des algebraischen
> komplementes die vorzeichen getauscht ?
Die adjunkte Matrix, welche hier benötigt wird, bekommt man so:
Unterdeterminanten, Schachbrett drauf, transponieren.
Die adjungierte Matrix einer komplexen Matrix ist etwas anderes: transponieren, konjugieren.
>
>
> 2.was mache ich nun ? wie verrechne ich die [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> jetzt mit meinem Aadj. ? Genauso wie eine Matrix mit einem
> skalar multipliziert wird ?
Das kannst Du machen, aber Du kannst es auch so dastehen lassen, wie es ist. Ist ja übersichtlicher.
>
>
> 3. Ich muss ja jetzt laut Aufgabenstellung:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 0 }[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\pmat{ 4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 6 \\ -1 & -5 & 3 }[/mm]
> = E rechnen, nur wie mache ich das ?
Das 1/6 kannst Du nach vorne ziehen, und dann machst Du eine ganz normale Matrizenmultiplikation. Wo ist das Problem?
Es kommt in der Tat die Einheitsmatrix heraus.
Übrigens kannst Du die Inverse Matrix auch mit dem Gauß-Algorithmus bestimmen, was bei größeren Matrizen doch netter ist als das Detrminantengewurschtel.
Du solltest das können.
LG Angela
habe nun schon
> diverse Schritte durchgeführt und da ich nich auf E komme,
> weiß ich nicht wie ich was machen muss.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Smuji |
danke, ich werde es versuchen
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