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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Inverse Matrix mit Unbekannten
Inverse Matrix mit Unbekannten < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inverse Matrix mit Unbekannten: Umstellen erzeugt zu komplexe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Do 31.10.2013
Autor: Akiragirl

Aufgabe
Für welche reellen Zahlen c ist die Matrix A invertierbar? Bestimmen Sie für diese Werte die Inverse A^-1.

A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ c & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1} [/mm]

Prinzipiell weiß ich, wie man eine Matrix invertiert (rechts Einheitsmatrix daneben schreiben und solange umformen, bis links die Einheitsmatrix steht) und dass die Matrix nicht invertierbar ist, wenn dabei links irgendwo eine Nullzeile entsteht. Allerdings bin ich bei dem Versuch, diese Matrix umzuformen, immer irgendwann daran gescheitert, dass meine Terme, die c enthalten, irgendwann riesig komplex werden und dann auch c² und sowas enthalten. Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabe so gedacht ist. Irgendwie habe ich wohl den falschen Ansatz beim Umformen. Ich habe die zweite Zeile durch c geteilt, um im ersten Element 1 rauszukriegen und dann abziehen zu können, aber dadurch bekomme ich dann eben mit der Zeit immer komplexere c-Terme ... Gibt es vielleicht einen "Trick"?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Inverse Matrix mit Unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Do 31.10.2013
Autor: fred97


> Für welche reellen Zahlen c ist die Matrix A invertierbar?
> Bestimmen Sie für diese Werte die Inverse A^-1.
>  
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ c & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1}[/mm]
>  
> Prinzipiell weiß ich, wie man eine Matrix invertiert
> (rechts Einheitsmatrix daneben schreiben und solange
> umformen, bis links die Einheitsmatrix steht) und dass die
> Matrix nicht invertierbar ist, wenn dabei links irgendwo
> eine Nullzeile entsteht. Allerdings bin ich bei dem
> Versuch, diese Matrix umzuformen, immer irgendwann daran
> gescheitert, dass meine Terme, die c enthalten, irgendwann
> riesig komplex werden und dann auch c² und sowas
> enthalten. Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabe
> so gedacht ist. Irgendwie habe ich wohl den falschen Ansatz
> beim Umformen. Ich habe die zweite Zeile durch c geteilt,
> um im ersten Element 1 rauszukriegen und dann abziehen zu
> können, aber dadurch bekomme ich dann eben mit der Zeit
> immer komplexere c-Terme ... Gibt es vielleicht einen
> "Trick"?

Bestimme zunächst c so, dass det(A) [mm] \ne [/mm] 0 ist.

Für diese(s) c berechne dann die Inverse von A.

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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Inverse Matrix mit Unbekannten: Nachfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:47 Do 31.10.2013
Autor: Akiragirl

Hallo Fred,
über diese Determinante würde ich darauf kommen, dass c nicht gleich -1/2 sein darf. Aber damit habe ich ja immer noch nicht die Inverse von A mit dem allgemeinen c; ich kann für c ja nicht einfach irgendeine Zahl einsetzen, sondern es muss ja eine Inverse rauskommen, die auch wieder irgendwie von c abhängen.
Und da komme ich dann eben zu dem Problem, das ich in der Ausgangsfrage geschildert habe ... Wie forme ich diese Matrix "geschickt" um, sodass meine Inverse am Ende keine Giga-Terma enthält?

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Inverse Matrix mit Unbekannten: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Do 31.10.2013
Autor: Akiragirl

Habe mich vertan, c darf nicht gleich 5/3 sein.
Trotzdem löst das nicht mein Problem, die Inverse von A zu ermitteln.

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Inverse Matrix mit Unbekannten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 Do 31.10.2013
Autor: uhuwe

Da hast du doch schon die Antwort: Die Matrix ist für alle c ungleich 5/3 invertierbar

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Bezug
Inverse Matrix mit Unbekannten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:01 Do 31.10.2013
Autor: Akiragirl

Ich muss aber eben auch die inverse Matrix ermitteln, nicht einfach nur sagen, für welche c sie invertierbar ist ...

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Inverse Matrix mit Unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 31.10.2013
Autor: angela.h.b.


> Hallo Fred,
> über diese Determinante würde ich darauf kommen, dass c
> nicht gleich -1/2 sein darf.

Hallo,

[willkommenmr].

Ob die det für c=-1/2 Null ist, hab' ich nicht geprüft.


> Aber damit habe ich ja immer
> noch nicht die Inverse von A mit dem allgemeinen c; ich
> kann für c ja nicht einfach irgendeine Zahl einsetzen,
> sondern es muss ja eine Inverse rauskommen, die auch wieder
> irgendwie von c abhängen.

Richtig.

> Und da komme ich dann eben zu dem Problem, das ich in der
> Ausgangsfrage geschildert habe ... Wie forme ich diese
> Matrix "geschickt" um, sodass meine Inverse am Ende keine
> Giga-Terma enthält?

Hm, an Giga-Terme mag ich nicht recht glauben.
Fang doch mal an zu rechnen!
Ohne was zu sehen, kann man ja nun wirklich schlecht helfen.

LG Angela

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Inverse Matrix mit Unbekannten: Lösungsversuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Do 31.10.2013
Autor: Akiragirl

Gut, dann versuche ich mal, euch meinen bisherigen Lösungsversuch darzustellen:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ c & 1 & -1 & 0 \\0 & 2 & 1 & -1 \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

(Zeile (I) * (-c)) + Zeile II:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-c & -1 & 0 \\0 & 2 & 1 & -1 \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

Zeile (II) / (1-c):

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(1-c) & 0 \\0 & 2 & 1 & -1\\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c/(1-c) & 1/(1-c) & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

(Zeile (II) * -2) + Zeile III:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(1-c) & 0 \\0 & 0 & (3-c)/(1-c) & -1 \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c/(1-c) & 1/(1-c) & 0 & 0\\2c/1-c & -2/1-c & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

(Zeile (III) * ((1-c)/(3-c)):

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(1-c) & 0 \\0 & 0 & 1 & (c-1)/(3-c) \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c/(1-c) & 1/(1-c) & 0 & 0\\(2c – 2c²)/(3-4c+c²) & (-2+2c)/(3-4c+c²) & (1-c)/(3-c) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

Ja, und hier steige ich dann halt aus, weil das einfach viel zu komplex wird, um noch richtig sein zu können … So eine komplexe Aufgabe würde unser Prof uns denke ich nicht stellen …:(



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Inverse Matrix mit Unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:27 Fr 01.11.2013
Autor: angela.h.b.


> Gut, dann versuche ich mal, euch meinen bisherigen
> Lösungsversuch darzustellen:

Moin,

gut.

Das sieht beim Drübergucken doch auch gar nicht schlecht aus!

>

> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ c & 1 & -1 & 0 \\0 & 2 & 1 & -1 \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]

>

> (Zeile (I) * (-c)) + Zeile II:

>

> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-c & -1 & 0 \\0 & 2 & 1 & -1 \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]

>

> Zeile (II) / (1-c):

>

> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(1-c) & 0 \\0 & 2 & 1 & -1\\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c/(1-c) & 1/(1-c) & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]

>

> (Zeile (II) * -2) + Zeile III:

>

> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(1-c) & 0 \\0 & 0 & (3-c)/(1-c) & -1 \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c/(1-c) & 1/(1-c) & 0 & 0\\2c/1-c & -2/1-c & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]

>

> (Zeile (III) * ((1-c)/(3-c)):

>

> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(1-c) & 0 \\0 & 0 & 1 & (c-1)/(3-c) \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c/(1-c) & 1/(1-c) & 0 & 0\\(2c – 2c²)/(3-4c+c²) & (-2+2c)/(3-4c+c²) & (1-c)/(3-c) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]

>

> Ja, und hier steige ich dann halt aus, weil das einfach
> viel zu komplex wird,

Naja, ich denke "komplex" ist etwas übertrieben.
Nennen wir es doch einfach "lästig".

Du warst bei Deinem letzten Schritt zu eifrig und hast alles ausmultipliziert.

Das lassen wir jetzt mal bleiben:


> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(1-c) & 0 \\0 & 0 & (3-c)/(1-c) & -1 \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c/(1-c) & 1/(1-c) & 0 & 0\\2c/1-c & -2/1-c & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]

>

> (Zeile (III) * ((1-c)/(3-c)):

>
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(1-c) & 0 \\0 & 0 & 1 & -1* ((1-c)/(3-c)) \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c/(1-c) & 1/(1-c) & 0 & 0\\2c/(1-c)* ((1-c)/(3-c)) & -2/(1-c)* ((1-c)/(3-c)) & 1* ((1-c)/(3-c)) & 0* ((1-c)/(3-c))\\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]


Und nun kürzen wir mal ein bißchen:

-->[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1/(1-c) & 0 \\0 & 0 & 1 & (1-c)/(3-c) \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c/(1-c) & 1/(1-c) & 0 & 0\\2c/(3-c)) & -2/(3-c)) & (1-c)/(3-c)& 0\\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]


Ich denke doch, daß Du jetzt den Mut hast, weiterzumachen.

EDIT: ich füge an dieser Stelle tobits Hinweis ein:
Dein Tun funktioniert (egen der Division) nur für [mm] c\not=1,3. [/mm]
Die beiden Matrizen für c=1,3 mußt Du im Anschluß untersuchen.

Du fragtest nach einem Tip:
ich finde es meist sehr lästig, Brüche zu haben, allein schon von der Schreiberei her.
Das kannst Du umgehen, indem Du mit den Vielfachen von Zeilen arbeitest und es erstmal akzeptierst, daß Du auf der Diagonalen keine Einsen bekommst.

Ich mache mal vor, was ich meine:



> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ c & 1 & -1 & 0 \\0 & 2 & 1 & -1 \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]

>

> (Zeile (I) * (-c)) + Zeile II:

>

> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-c & -1 & 0 \\0 & 2 & 1 & -1 \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]



Zeile (III) * (1-c):

[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-c & -1 & 0 \\0 & 2(1-c) & 1-c & -(1-c) \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1-c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]


(Zeile (II) * -2) + Zeile III:

[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-c & -1 & 0 \\0 & 0 & 3-c & -(1-c) \\0 & 0 & 2 & 1 } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c & 1 & 0 & 0\\-2c & -2 & 1-c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]


(Zeile (IV) * (3-c):

[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-c & -1 & 0 \\0 & 0 & 3-c & -(1-c) \\0 & 0 & 2(3-c) & 3-c } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c & 1 & 0 & 0\\-2c & -2 & 1-c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3-c}[/mm]

(Zeile (IV)-2*Zeile(III)

[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-c & -1 & 0 \\0 & 0 & 3-c & -(1-c) \\0 & 0 & 0 & 5-3c } \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -c & 1 & 0 & 0\\-2c & -2 & 1-c & 0 \\ 4c & 4 & -2(1-c) & 3-c}[/mm],

und nun weiter bis zum bitteren Ende ...


> So eine komplexe Aufgabe würde unser Prof uns denke ich
> nicht stellen …:(

s.o.: sie ist lästig, sonst nichts...

LG Angela


>
>

Bezug
                                                
Bezug
Inverse Matrix mit Unbekannten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:27 Fr 01.11.2013
Autor: Akiragirl

Vielen Dank für diese Hilfe! Immerhin weiß ich jetzt schon mal, dass ich nicht auf dem völlig falschen Weg war. Die 1en in der Diagonale erst später herzustellen, ist natürlich eine Idee. Ich werde es jetzt mal damit versuchen. Dennoch finde ich es seltsam, dass unser Prof uns so eine Aufgabe zum üben gibt; es geht ja schließlich eigentlich darum, das Umformen usw. zu verstehen, aber das hier artet irgendwie nur in Rechnerei und Arbeit aus ;)
Danke auf jeden Fall!

Bezug
                                        
Bezug
Inverse Matrix mit Unbekannten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:42 Fr 01.11.2013
Autor: tobit09

Hallo Akiragirl!


Kleine Ergänzung zu Angelas Antwort:

Deine Umformungen funktionieren nur im Falle [mm] $c\notin\{1,3\}. [/mm]
Ansonsten teilst du unterwegs durch 0.


Viele Grüße
Tobias

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