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| Aufgabe | Sei A [mm] $\in \IC^{n,n}$ [/mm] eine Matrix.
Schreiben Sie [mm] $A^{-1}$ [/mm] als Potenz von A mit positivem Exponenten. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen. Meine Idee wäre gewesen, [mm] $\frac{A^0}{A^1} [/mm] = [mm] \frac{I_n}{A}$.
[/mm]
Leider ist mir aufgefallen, dass es so etwas wie eine Matrizendivision gar nicht gibt.
Nun fällt mir nichts weiter ein.
PS: Ich weiß, der Lösungszeitraum ist sehr kurz. Ich bitte dies zu entschuldigen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Di 23.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei A [mm]\in \IC^{n,n}[/mm] eine Matrix.
> Schreiben Sie [mm]A^{-1}[/mm] als Potenz von A mit positivem
> Exponenten.
Als eine Potenz? Oder als Summe von Potenzen?
Einfach als eine Potenz geht das im Allgemeinen nicht. Oder hast du eine spezielle Matrix gegeben? Ist das wirklich die komplette Aufgabenstellung so?
> Hallöchen. Meine Idee wäre gewesen, [mm]\frac{A^0}{A^1} = \frac{I_n}{A}[/mm].
>
> Leider ist mir aufgefallen, dass es so etwas wie eine
> Matrizendivision gar nicht gibt.
Nun, es gibt die Multiplikation mit dem Inversen. Das ist hier die Division. Aber dann steht da wieder einfach nur [mm] $I_n \cdot A^{-1} [/mm] = [mm] A^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Felix:
falls "Summe von Potenzen" gemeint ist, so denke an den Satz von Cayley_Hamilton.
FRED
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| Aufgabe | Sei $A [mm] \in \IC^{n,n}$ [/mm] eine Matrix mit [mm] $A^m [/mm] = [mm] I_n$ [/mm] wobei $m [mm] \in \IN\\{0}$ [/mm] die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Woviele Elemente hat die Menge [mm] ${A^k | k \in \IN}$?
[/mm]
Schreiben Sie [mm] $A^{-1}$ [/mm] als Potenz von A mit positivem Exponenten. |
Nein keine Summe von Matrizen.
Die Aufgabenstellung ist nun vollständig gegeben. Ich habe gedacht sie wäre für diese Teilaufgabe nicht erforderlich.
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> Sei [mm]A \in \IC^{n,n}[/mm] eine Matrix mit [mm]A^m = I_n[/mm] wobei [mm]m \in \IN\\
{0}[/mm]
> die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Woviele
> Elemente hat die Menge [mm]{A^k | k \in \IN}[/mm]?
> Schreiben Sie
> [mm]A^{-1}[/mm] als Potenz von A mit positivem Exponenten.
> Nein keine Summe von Matrizen.
>
> Die Aufgabenstellung ist nun vollständig gegeben. Ich habe
> gedacht sie wäre für diese Teilaufgabe nicht
> erforderlich.
Hallo,
echt herzig...
Daß diese Aufgabenstellung etwas spezieller ist als die von Dir gepostete, ist nicht aufgefallen?
Nun gut.
Es sei A also solch eine Matrix wie oben.
Dann ist [mm] A^m=I_n.
[/mm]
Nun überlege Dir:
[mm] A*A^{???}=I_n.
[/mm]
Gruß v. Angela
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[mm] $A^m$ [/mm] ist die Antwort auf deine Frage.
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> [mm]A^m[/mm] ist die Antwort auf deine Frage.
Hallo,
nein.
Es ist doch [mm] A*A^m=A*I_n=A.
[/mm]
Wir suchen aber eine Matrix [mm] A^{?} [/mm] mit [mm] A*A^{?}=I_n (=A^m):
[/mm]
Gruß v. Angela
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Nach Definition ist der Fall für das Inverse Element zu A gegeben durch [mm] $A^{-1}$. [/mm] (in der Multiplikation, in der wir uns eindeutig befinden.)
Nur ist es ja bereits erwähnt worden, dass die Potenz positiv zu sein hat.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Di 23.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nach Definition ist der Fall für das Inverse Element zu A
> gegeben durch [mm]A^{-1}[/mm]. (in der Multiplikation, in der wir
> uns eindeutig befinden.)
>
> Nur ist es ja bereits erwähnt worden, dass die Potenz
> positiv zu sein hat.
Genau. Deswegen hat Angela ja auch [mm] $I_n [/mm] = [mm] A^m$ [/mm] in Klammern hinzugeschrieben.
Also [mm] $A^1 \cdot A^{?} [/mm] = [mm] A^m$. [/mm] Was ist wohl das Fragezeichen?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Aufgabenstellung ist nun vollständig gegeben. Ich habe
> gedacht sie wäre für diese Teilaufgabe nicht
> erforderlich.
Ja wirklich, echt herzig ! Wenn Du das gedacht hast, dann mußt Du der Meinung sein , jede Matrix A ist invertierbar und es gibt stets ein p>0 mit [mm] $A^{-1}=A^p$
[/mm]
Nun gibt es aber ein paar Matrizen ( aber wirklich nicht viele) für die das falsch ist
FRED
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