Inverse einer 4x4- Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Inverse zu A mit Hilfe der komplementären (adjunkten) Matrix Ã.
A=[mm]\begin{pmatrix}
4 & -2 & -1 & 0 \\
0 & 3 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 4
\end{pmatrix}[/mm] |
Hallo Alle zusammen!
Dies ist mein erster Beitrag und ich bin etwas aufgeregt :)
Bisheriger Lösungsansatz:
Ich weiss, ich berechne die Inverse mit Hilfe der Adjunkten oder auch komplementären Matrix.
[mm]A^{-1} = \bruch{adj(A)}{det(A)}[/mm]
s.h. auch: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Komplementäre_Matrix/
Die dortige Formel (die ich i.ü. sogar verständlich finde :) ) für die Berechnung der Adjunkten ist allerdings nur für 3X3- Matrizen geeignet.
Ich würde also zunächst mal aus der Matrix eine Dreiecksmatrix machen (2x Zeile 2 + Zeile 4), um dann die Determinante einfach über das Produkt der Hauptdiagonalelemente zu erhalten.
Dann fehlt nur noch die Adjunkte.
Frage:
1. Wie sieht diese "Adjunkten"- Formel für eine 4X4 Matrix aus ?
Ich freue mich über jede Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hana_schwiem,
du hast dir wohl nur das Beispiel angesehen... Oberhalb der Formel für 3x3 Matrizen steht die allgemeine Formel.
Wichtig ist der Satz: "Die Minoren [mm] M_{ji} [/mm] sind die Werte der Unterdeterminanten der transponierten Matrix A, die durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte entstehen." Genau das musst du machen. Also musst du für jeden Eintrag eine Determinante berechnen.
Hoffe, das war verständlich!
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Danke schonmal für den ersten kurzen Tip. Nach einiger Zeit scharfen Hinsehens hab ich nun begriffen wie sich die einzelnen Unterdeterminanten zusammensetzen - allerdings weiss ich nicht, wo die Minusse herkommen, die man in der 3x3- Formel sieht (jede zweite Unterdeterminante wird mit einem Minus versehen).
Nach welcher Regel werden also die Minusse vergeben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mo 23.04.2007 | | Autor: | dena |
Hallo!
Du brauchst nur die folgende Formel ansehen:
[mm] a_{j,i} [/mm] = [mm] (-1)^{j+i} [/mm] * [mm] M_{j,i}
[/mm]
Wobei j die j-te Zeile und i die i-te Spalte angibt.
Bist du z.B. in der 2. Zeile, 2. Spalte, dann rechnest du [mm] (-1)^4 [/mm] = +1
lg dena
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Danke!
Ich habs jetzt hinbekommen (meine Güte, das war eine Arbeit, die ganzen Unterdeterminanten zu bilden).
Eine kurze Probe liefert auch die gewünschte Einheitsmatrix.
(^-^)
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