Inverse und Spaltentausch < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine Frage zur Berechnung von Inversen. Genauer zu diesem Satz:
> Also kann man A^−1 mit dem GaußAlgorithmus
> bestimmen.
> Da A regulär ist braucht man dabei keine
> Spaltenvertauschungen.
Bedeutet das, dass ich also bei der Berechnung von Inversen (im Gegensatz zur Berechnung von Determinanten oder auch zur Lösung eines Gleichungssystems) niemals Gebrauch von Spaltenvertauschungen machen sollte?
Zeilentausch dagegen ist aber ohne Weiteres definiert?
Lieben Dank!
|
|
| |
|
> Hallo,
Hallo Englein,
> ich habe eine Frage zur Berechnung von Inversen. Genauer zu
> diesem Satz:
>
> > Also kann man [mm] A^{-1} [/mm] mit dem GaußAlgorithmus
> > bestimmen.
Mich hätte ja noch interessiert, was vor dem "Also" steht. Ich nehme an, es geht um das Verfahren, in dem man die zu invertierende Matrix und die Einheitsmatrix nebeneinander schreibt und dann die linke Matrix durch geeignete Schritte in die Einheitsmatrix überführt, dabei die gleichen Schritte "recht" durchführt und schließlich eben links die Einheitsmatrix und recht die Inverse der ursprünglichen Matrix stehen hat. Richtig?
> > Da A regulär ist braucht man dabei keine
> > Spaltenvertauschungen.
>
> Bedeutet das, dass ich also bei der Berechnung von Inversen
> (im Gegensatz zur Berechnung von Determinanten oder auch
> zur Lösung eines Gleichungssystems) niemals Gebrauch von
> Spaltenvertauschungen machen sollte?
> Zeilentausch dagegen ist aber ohne Weiteres definiert?
So ist es. Hier ein Beispiel. Zu invertieren sei [mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Die letzte Zeile lädt dazu ein, entweder durch Zeilentausch die Zeile an zweite Position zu bringen, oder die "1" durch Spaltentausch an die dritte Stelle. Probier einfach mal beides aus, und zum Vergleich auch noch die Variante ohne jeden Tausch.
Bei Anwendung von Zeilentausch erhältst du [mm] A^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 }
[/mm]
Probe: [mm] A*A^{-1}=E
[/mm]
Bei Anwendung von Spaltentausch (natürlich dann auch "rechts"!) erhältst du [mm] A^{-1}=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Probe: [mm] A*A^{-1}=\red{\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 }} \not= \a{}E
[/mm]
Ohne Tausch ... geht's nicht!
> Lieben Dank!
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
Wieso erhälst du nach Spalten- und Zeilentausch negative Zahlen?
Und warum vergleichst du das dann mit der Einheitsmatrix, um zu zeigen, dass der Zeilentausch geht und der Spaltentausch nicht?
Ich komm da grad irgendwie nicht ganz mit, sorry.
> Mit dem GaußAlgorithmus kann man insbesondere überprüfen,
> ob eine gegebene (n × n)Matrix A regulär ist, d. h. ob ihr
> Rang gleich n ist.
>
> Dazu formt man A in eine obere Dreiecksmatrix A* um. Wenn
> alle Diagonalelemente nicht null sind, ist rang (A*) = rang
> (A) = n.
> Ist dies der Fall, so gibt es auch eine Inverse
> A^−1, d.h. eine(n x n)Matrix A^-1 mit A * A^-1 =
> [mm]E_n.[/mm]
>
> Natürlich ist der j-te Spaltenvektor von A^−1 eine
> (die) Lösung der Gleichung A · x = [mm]e_j[/mm] .
---
Außerdem würde ich gerne das Verfahren zu Determinanten wissen, falls mir das jemand erläutern kann. Hier darf ich neben dem normalen Gauß-Verfahren, das exakt so für Inverse gilt (Addition, Subtraktion einer Zeile oder eines Vielfachen einer Zeile, Zeilentausch - ohne dass ich nachher etwas zurücktauschen muss) auch Spaltentausch anwenden, oder?
Nur dass sich dann das Vorzeichen ändert?
Und ich darf ganze Zeilen mit eine Konstanten multiplizieren, muss aber nachher nochmal durch diese Zahl teilen, richtig? Gilt das auch dann, wenn ich eine Zeile oder Spalte bei der Inversen durch eine Zahl dividiere, dass ich nachher das Ergebnis mit der Zahl bzw dem Kehrwert multiplizieren muss?
Aber: Bei Gauß und ganz normaler Lösung eines Gleichungssystems darf ich doch SPalten tauschen, oder nicht? Nur dass ich am Ende meines Rechnung bei den Vektoren dann die betroffenen Werte zurücktauschen muss (aber hier tausche ich dann gar nicht die ganzen Spalten, sondern nur Zeilen, ist das richtig? Warum? Wenn ich Spalte 3 und 4 tausche, warum tausche ich dann im Ergebnisvektor Zeile 3 und 4?).
Danke, danke, danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 05.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber: Bei Gauß und ganz normaler Lösung eines
> Gleichungssystems darf ich doch SPalten tauschen, oder
> nicht? Nur dass ich am Ende meines Rechnung bei den
> Vektoren dann die betroffenen Werte zurücktauschen muss
> (aber hier tausche ich dann gar nicht die ganzen Spalten,
> sondern nur Zeilen, ist das richtig? Warum? Wenn ich Spalte
> 3 und 4 tausche, warum tausche ich dann im Ergebnisvektor
> Zeile 3 und 4?).
Bei einem linearen Gleichungssystem entspricht jede Spalte einer Unbekannten. Wenn du Spalten tauschst, dann vertauschst du die zugehörigen Unbekannten. Das bedeutet aber, dass du am Schluss diese Vertauschungen wieder rückgängig machen musst, damit die Unbekannten wieder in der richtigen Reihenfolge auftreten.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:02 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Vielen Dank!
Könntest du mir vielleicht auch erläutern, wie sich solche Umformungen bei Inversen und Determinanten verhalten und welche Spezialfälle es gibt bei der Berechnung? Konkrete Fragen habe ich ja bereits versucht zu formulieren.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe heute abend keine Lust mehr zu suchen, aber ich bin mir ziemlich sicher, daß wir vor wenigen Wochen einen Thread hatten, in dem wir genau diese Zeilen- und Spaltentauschfragen besprochen hatten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mo 05.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ja, daran kann ich mich auch erinnern.
Es war diese Diskussion. Da klingelt doch auch bei Dir ein Glöckchen, Englein?
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Mo 05.01.2009 | | Autor: | reverend |
> > > Also kann man [mm]A^{-1}[/mm] mit dem GaußAlgorithmus
> > > bestimmen.
>
> Mich hätte ja noch interessiert, was vor dem "Also" steht.
> Ich nehme an, es geht um das Verfahren, in dem man die zu
> invertierende Matrix und die Einheitsmatrix nebeneinander
> schreibt und dann die linke Matrix durch geeignete Schritte
> in die Einheitsmatrix überführt, dabei die gleichen
> Schritte "recht" durchführt und schließlich eben links die
> Einheitsmatrix und recht die Inverse der ursprünglichen
> Matrix stehen hat. Richtig?
>
> > > Da A regulär ist braucht man dabei keine
> > > Spaltenvertauschungen.
> >
> > Bedeutet das, dass ich also bei der Berechnung von Inversen
> > (im Gegensatz zur Berechnung von Determinanten oder auch
> > zur Lösung eines Gleichungssystems) niemals Gebrauch von
> > Spaltenvertauschungen machen sollte?
> > Zeilentausch dagegen ist aber ohne Weiteres definiert?
>
> So ist es. Hier ein Beispiel. Zu invertieren sei [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Die letzte Zeile lädt dazu ein, entweder durch Zeilentausch
> die Zeile an zweite Position zu bringen, oder die "1" durch
> Spaltentausch an die dritte Stelle. Probier einfach mal
> beides aus, und zum Vergleich auch noch die Variante ohne
> jeden Tausch.
1.)
> Bei Anwendung von Zeilentausch erhältst du [mm]A^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 }[/mm]
... und das geht so:
ursprüngliche Matrix und Einheitsmatrix nebeneinander, dann nach Gauß-Algorithmus umformen, bis links Einheitsmatrix steht, rechts dann die Inverse. Hier mit einem Zeilentausch:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
jetzt 2.+3. Zeile tauschen (der angekündigte Zeilentausch!):
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
dann 1.-2. Zeile, 2. Zeile bleibt, 3.-2. Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & -1 }
[/mm]
Fertig. Links steht E, rechts [mm] A^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 }
[/mm]
> Probe: [mm]A*A^{-1}=E[/mm]
2.)
> Bei Anwendung von Spaltentausch (natürlich dann auch
> "rechts"!) erhältst du [mm]A^{-1}=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
Nämlich so:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
erst 2.+3. Spalte tauschen (in linker und rechter Matrix!)
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
dann 1.-3. Zeile, 2.-3. Zeile, 3. Zeile bleibt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Fertig.
Nun steht zwar links E, aber die Matrix rechts ist nicht [mm] A^{-1}.
[/mm]
> Probe: [mm]A*A^{-1}=\red{\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 }} \not= \a{}E[/mm]
3.)
> Ohne Tausch ... geht's nicht!
Und ohne Zeilen- oder Spaltentausch ist mit diesem Verfahren die Einheitsmatrix auf der linken Seite nicht zu erzeugen (oder ich sehe gerade nicht, wie).
> > Lieben Dank!
> Liebe Grüße,
> reverend
Jetzt klarer?
|
|
|
| |
|
"Und ohne Zeilen- oder Spaltentausch ist mit diesem Verfahren die Einheitsmatrix auf der linken Seite nicht zu erzeugen (oder ich sehe gerade nicht, wie). "
Ich dachte der SPaltentausch wäre nun nicht mehr erlaubt?
Wie sieht es mit den Umformungen bei Determinanten aus?
|
|
|
| |
|
> "Und ohne Zeilen- oder Spaltentausch ist mit diesem
> Verfahren die Einheitsmatrix auf der linken Seite nicht zu
> erzeugen (oder ich sehe gerade nicht, wie). "
> Ich dachte der SPaltentausch wäre nun nicht mehr erlaubt?
Hallo,
hast Du des reverends Post komplett gelesen?
Er hat Dir doch gerade vorgemacht, wie Du mit Zeilentausch die Inverse bekommst.
Anschließend hat er Dir vorgemacht, wie man das mit Spaltentausch macht, und was man hier beachten muß. Also kann man Spalten tauschen - wenn man's richtig macht.
Und nun schreibt er, daß man seiner Meinung nach nicht auf jegliches Tauschen verzichten kann.
Das mit dem Spaltentausch haben wir doch schon lang und breit besprochen, ein bißchen frage ich mich, wofür eigentlich...
Wenn Du es richtig machst, kannst Du Spalten tauschen. Aber es ist beim Lösen von LGSen und Invertieren fehlerträchtig, weil man sich ganz genau notieren muß, was man getan hat, weswegen es Leute gibt, die deswegen davon abraten. Ich beispielsweise, und zwar mit dem Ziel der Vermeidung überflüssiger Fehler, und weiter mit dem Ziel, daß sich ein Zeilenumformungsautomatismus einschleift, der jederzeit ohne nachzudenken abrufbar ist.
> Wie sieht es mit den Umformungen bei Determinanten aus?
Du kannst Zeilen und Spalten umformen, solange Du nur die geltenden Regeln dafür beachtst.
Vielleicht wäre es manchmal ganz günstig, würdest Du in Deinen alten Diskussionen nachlesen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
