Inverse von Blockmatrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage bereits in einem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
![[]](/images/popup.gif) http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=36374
Hallo,
bin neu hier und hoffe, dass ihr mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen könnt.
Finde explizite Formeln für die Matrizen X,Y,Z,W in dem Ausdruck:
[mm] \pmat{ A & B \\ C & D }^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ X & Y \\ Z & W } [/mm] unter der Voraussetzung, dass C invertierbar ist.
Mein Ansatz:
[mm] \pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] * [mm] \pmat{ X & Y \\ Z & W } [/mm] = [mm] \pmat{ I & 0 \\ 0 & I }
[/mm]
Dieses kann ich nach der Multiplikation von Blockmatrizen umschreiben zu:
[mm] \pmat{ AX+BZ & AY+BW \\ CX+DZ & CY+DW } [/mm] = [mm] \pmat{ I & 0 \\ 0 & I }
[/mm]
Daraus könnte ich nun die vier Gleichungen:
AX+BZ=I
AY+BW=0
CX+DZ=0
CY+DW=I
gewinnen. Nur nun weiß ich nicht mehr weiter.
Vielleicht kann mir ja einer einen Tip geben. Vielen Dank im Voraus.
Gruß
MM
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Hallo,
also ich habe mir mal die Formel aus dem Link: Buris Antwort mal angeschaut.
Aber selbst beim Nachrechnen komm ich nicht drauf, dass es nach der Multiplikation wieder die Einheitsmatrix gibt.
[mm] \pmat{ I & 0 \\ ? & ? }
[/mm]
Die beiden Einträge in der oberen Zeile stimmen, aber beim Nachrechnen folgender Multiplikationen komm ich nicht auf das richtige Ergebnis:
[C * [mm] (A^{-1}+A^{-1}*B*(D-C*A^{-1}*B{-1}*C*A^{-1}]+[D* (-(D-C*A^{-1}*B)^{-1}*C*A^{-1})] [/mm] müsste 0 ergeben und
[C * [mm] (-A^{-1}*B*(D-C*A^{-1}*B)^{-1})]+[D*(D-C*A^{-1}*B)^{-1}] [/mm] müsste I ergeben.
Wie kommt man dadrauf?
Gruß
MM
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 So 08.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
du scheinst den symmetrischen Link benutzt zu haben, aber deine Matrix ist doch gar nicht symmetrisch, oder?
Ich denke dort liegt der Fehler.
nimm den anderen Link, beachte dass dort [mm] V^T [/mm] schon in der Ausgangsmatrix steht und versuche mal TobiPfanner's Gleichungen nachzuvollziehen - da steht schon eine Komplettlösung für dich.
Aber nachgerechnet habe ich es nicht 
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
ehrlich gesagt kann ich mir echt nicht vorstellen, dass die so kompliziert ist. Normalerweise sind die Aufgaben von unserem Prof immer recht einfach.
Gibts da keine andere Methode, wie man vorgehen kann? Ich habe mir jetzt ne zeitlang versucht die Formeln mal anzuschauen. Ich versteh ehrlich gesagt nur Bahnhof.
Also uns wurde gesagt, dass wir die Invertierbarkeit von C nutzen sollen.
Da muss es doch irgendeine Trick geben.
Gruß
Mathematiker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 So 08.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
aus deiner ersten Gleichung Ax+BZ=I folgt schon, wenn A beliebig ist, dass auch B invertierbar vorrausgesetzt werden muss (setze A=0).
Also entweder habt ihr mehr Annahmen über eure Matrizen gemacht, die hier bisher noch nicht stehen oder aber ich bezweifle, dass es sehr viel einfacher geht.
Vielleicht weiß jemand anderes Rat..
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Lösung vom Matheplaneten hatte ich gestern auch sofort, aber ich habe sie nicht gepostet, da sie nicht mit deinen Voraussetzungen übereinstimmt. Unter deinen Voraussetzungen ist die Aufgabe im Allgemeinen nicht lösbar, wie Andreas ja auch schon schrieb (gib doch einfach ein Gegenbeispiel an). Bitte überprüfe deine Angaben/Voraussetzungen unbedingt noch einmal.
War Schwachsinn, da die Gesamtmatrix ja als invertierbar vorausgesetzt wurde (jedenfalls ist das der Darstellung so zu entnehmen).
Viele Grüße
Stefan
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Hallo,
hier der gesamte Aufgabentext:
Finde explizite Formeln für die Matrizen X,Y,Z,W in dem Ausdruck:
[mm] \pmat{ A & B \\ C & D }^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ X & Y \\ Z & W }
[/mm]
unter der Voraussetzung, dass C invertierbar ist. Gehe dabei wie folgt vor:
schreibe obige Gleichung zunächst in folgende Form um:
[mm] \pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] * [mm] \pmat{ X & Y \\ Z & W } [/mm] = [mm] \pmat{ I & 0 \\ 0 & I }
[/mm]
Benutze dann die Formel für die Multiplikation von Blockmatrizen, um diese Gleichung explizit zu machen. Löse dann -unter der Bedingung, der Invertierbarkeit von C - soweit wie möglich auf. Begründe die Invertierbarkeit der dabei auftretenden Matrix T:= [mm] \pmat{ AC^{-1}D-B } [/mm] und gibt explizite Formeln für die Blöcke X,Y,Z,W in Termen von A,B,C,D und T an.
Ich hatte die Sache mit der Matrix T nicht erwähnt, da sie ja irgendwie aus den Umformen denke ich entstehen soll, aber ich habs es nicht geschafft herauszufinden wo sie herkommt.
Gruß
MM
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 08.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
nun gut um T zu finden löse
CX+DZ=0 nach X auf und setze dies dann in AX+BZ=I
Daraus folgt, dann dass Z invertierbar ist und die Inverse gerade -T ist...
EDIT: wenn du CY+DW=I nach Y auflöst und in AY+BW=0 einsetzt erhälst du nach Umformungen : $ [mm] W=T^{-1}*A*C^{-1} [/mm] $
(Fehlrechnungen sind möglich^^)
X und Y folgen dann mit W und Z aus
CX+DZ=0 und CY+DW=I
Wenn du dir nochmals die allgemeine Formel bei TobiPfanner ansiehst, sieht das mittler Weile ganz genauso aus.
btw: sorry für die vielen Edits und
die Frage wurde später auch auf dem MP gestellt:http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=36374 (zweiter Teil)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:42 Di 09.12.2008 | | Autor: | Enii |
Hi, weißt du zufällig auch, wie man das T in T^(-1) umformen kann?
du würdest mir damit sehr helfen,
grüße Enii
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 11.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Problem gelöst, vielen Dank euch allen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ach so, es war explizit vorausgesetzt, dass die Gesamtmatrix invertierbar ist. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , das war mir aus dem Aufgabentext heraus nicht klar. (Ist aber eigentlich logisch, sonst hätte man die Inverse wohl nicht hingeschrieben... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") , war meine Blödheit...) Dann scheiden die pathologischen Fälle natürlich aus.
Gut, dann ist alles klar. 
Es wäre nett, wenn du beim nächsten Mal hier hereinschreiben würdest, wenn du zeitgleich in anderen Foren nachfragst, dann müssen wir uns nicht doppelte Arbeit machen, Danke.
Viele Grüße
Stefan
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Ich hatte es dann noch nachträglich auf dem MP gepostet und auch meinen Ausgangspost hier editiert, was wohl eine dumme Idee war, da da ja eh keiner mehr reinguckt :)
Das nächste mal weiß ich bescheid, natürlich auch hier einen großen Dank an euch beiden :)
Gruß
MM
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
