Inverse von Matrix bilden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 25.01.2013 | | Autor: | dangros |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Inverse der Matrize!
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i } [/mm] |
Ich habe schon den ganzen Tag andere Aufgaben bezüglich Medienmanagement gemacht und bin nun bei einer Teilaufgabe hängen geblieben wo ich mir einfach auf den Kopf schlagen könnte.
Ich finde einfach den Start nicht. Bitte helft mir.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
fange so an:
[mm]\left( \begin {array}{cccc|cccc} 1&1&1&1&1&0&0&0 \\
1&-i&-1&i&0&1&0&0 \\
1&-1&1&-1&0&0&1&0 \\
1&i&-1&-i&0&0&0&1 \end {array} \right) [/mm]
Und nun bringe die linke Matrix durch Zeilenumformungen auf Diagonalform. Dann steht rechts die Inverse.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Fr 25.01.2013 | | Autor: | dangros |
Ja das ist mir schon klar:) Trotzdem danke.
Mir fehlen einfach die ersten Schritte der Umformung um da mal rein zu kommen. Ich habe einfach nen Brett vorm Kopf.
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Hallo dangros,
zunächst mal nachträglich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Ja das ist mir schon klar:) Trotzdem danke.
>
> Mir fehlen einfach die ersten Schritte der Umformung um da
> mal rein zu kommen. Ich habe einfach nen Brett vorm Kopf.
Nun, es ist so: wir sind hier keine LÖsungsmaschine. Und soo schwer ist das ja hier nicht, einen Anfang zu finden. Lasse mal die erste Zeile stehen und mache dann folgendes
(2')=(1)-(2)
(3')=(1)-(3)
(4')=(1)-(4)
Dann hast du schonmal die erste Spalte erledigt. Und so geht das dann weiter. Und wenn du damit nichts anfangen kannst: dann bitte ersteinmal Unterlagen/Skript durchgehen, Stichwort Gauß-Verfahren. Mache dir klar, was das ist, mache einige Versuche und stelle dann bei deiner nächsten Frage wenigstens einen davon vor.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Sa 26.01.2013 | | Autor: | dangros |
Ok. Ich sehe ja ein, dass die Informationen sehr spärlich waren/sind.
Hier mein Lösungsansatz. Allerdings MUSS ich einen Fehler in der Einheitsmatrix gemacht haben. Kann mir jemand helfen?
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i } [/mm] $ Multipliziert mit $ [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $
ergibt $ [mm] \pmat{ 3 \\ -i \\ 1 \\ i } [/mm] $.
Wenn ich nun die Inverse Berechne, sollte ich ja mit der neuen Einheitsmatrix und meinem NEUEN Vektor wieder $ [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $ bekommen?
Hier meine Schritte damit ich von $ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i } [/mm] $ auf die Einheitsmatrix komme.
Schritt 1
(2')=(1)-(2)
(3')=(1)-(3)
(4')=(1)-(4)
Schritt 2
(3')= -i * (3) - (-1) * (2)
(4')= -i * (4) - i * (2)
Schritt 3
(4')= -i * (4) - 2i * (3)
In Reihe 4 steht dann -4i² - Ersetze ich durch 4 (-4 * - 1)
Schritt 4
(4')= / 4
Schritt 5
(1')= -(4)
(2')= -i * (4)
(3')= -2i * (4)
Schritt 6
(3')=*i Dadurch kann ich -i² wieder durch 1 ersetzen
Schritt 7
(1')= - (3)
(2')= - (3)
Schritt 8
(2')=*i Dadurch kann ich -i² wieder durch 1 ersetzen
Schritt 9
(1')=-(2)
Dadurch erhalte ich nun eine Einheitsmatrix allerdings sieht das rechte Ergebnis völlig wüst aus und ergibt multipliziert mit $ [mm] \pmat{ 3 \\ -i \\ 1 \\ i } [/mm] $ auch nicht das erwünschte Ergebnis $ [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 2i & 2,5 -4,5i & -1 & -0,5i \\ -2i & 2i+2,25 & 0,5 & 0,5 +0,5i \\ 1 & 2i+0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & 0,25 -i/2 & 0,5 & 0,25 } [/mm] $
Ich muss mich irgendwo ziemlich verrechnet haben. Ich find es aber wirklich nicht.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
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Hallo,
> Ok. Ich sehe ja ein, dass die Informationen sehr spärlich
> waren/sind.
>
> Hier mein Lösungsansatz. Allerdings MUSS ich einen Fehler
> in der Einheitsmatrix gemacht haben. Kann mir jemand
> helfen?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -i & -1 & i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & i & -1 & -i }[/mm]
> Multipliziert mit [mm]\pmat{ 1 \\
1 \\
1 \\
0 }[/mm]
>
> ergibt [mm]\pmat{ 3 \\
-i \\
1 \\
i } [/mm].
>
Ja schon. Aber was hat das denn mit der Inversenbildung zu tun?
> Wenn ich nun die Inverse Berechne, sollte ich ja mit der
> neuen Einheitsmatrix und meinem NEUEN Vektor wieder [mm]\pmat{ 1 \\
1 \\
1 \\
0 }[/mm]
> bekommen?
>
???
>
> Hier meine Schritte damit ich von [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -i & -1 & i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & i & -1 & -i }[/mm]
> auf die Einheitsmatrix komme.
>
> Schritt 1
> (2')=(1)-(2)
> (3')=(1)-(3)
> (4')=(1)-(4)
>
Ok, das hatte ich ja vorgeschlagen.
> Schritt 2
> (3')= -i * (3) - (-1) * (2)
> (4')= -i * (4) - i * (2)
>
Was soll das bringen, so bekommst du keinen weiteren Eintrag eliminiert.
> Schritt 3
> (4')= -i * (4) - 2i * (3)
> In Reihe 4 steht dann -4i² - Ersetze ich durch 4 (-4 * -
> 1)
>
> Schritt 4
> (4')= / 4
>
> Schritt 5
> (1')= -(4)
> (2')= -i * (4)
> (3')= -2i * (4)
>
> Schritt 6
> (3')=*i Dadurch kann ich -i² wieder durch 1 ersetzen
>
> Schritt 7
> (1')= - (3)
> (2')= - (3)
>
> Schritt 8
> (2')=*i Dadurch kann ich -i² wieder durch 1 ersetzen
>
> Schritt 9
> (1')=-(2)
>
>
>
>
> Dadurch erhalte ich nun eine Einheitsmatrix allerdings
> sieht das rechte Ergebnis völlig wüst aus und ergibt
> multipliziert mit [mm]\pmat{ 3 \\
-i \\
1 \\
i }[/mm] auch nicht
> das erwünschte Ergebnis [mm]\pmat{ 1 \\
1 \\
1 \\
0 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2i & 2,5 -4,5i & -1 & -0,5i \\
-2i & 2i+2,25 & 0,5 & 0,5 +0,5i \\
1 & 2i+0,5 & 0 & 0,5 \\
0 & 0,25 -i/2 & 0,5 & 0,25 }[/mm]
>
> Ich muss mich irgendwo ziemlich verrechnet haben. Ich find
> es aber wirklich nicht.
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen.
In der Form wird es schwierig werden. Ich würde vorschlagen, dass wir es Schritt für Schritt machen, dann können auch andere Mitglieder mithelfen. Das würde njedoch von deiner Seite aus erfordern, dass du zu jedem Schritt auch dann wieder die entsprechende Matrix mit angibst, sonst ist das viel zu verwirrend und zu zeitaufwändig.
Alternativ versuchst du es nochmal selbst. Zur Kontrolle:
[mm]\pmat{ 0.25&0.25&0.25&0.25 \\
0.25&0.25i&-0.25&-0.25i\\
0.25&-0.25&0.25&-0.25\\
0.25&-0.25i&-0.25&0.25i } [/mm]
ist das korrekte Ergebnis.
Gruß, Diophant
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