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Inverse von Schnitten bez Add: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Mo 27.10.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Betrachten wir einen Schnitt S. Wir definieren
[mm] -S:=\{q \in \IQ| \forall s\in S : q >-s\wedge\forall t\in\IQ:(t=inf S=>q\not=-t)\} [/mm]
den zu S negativen Schnitt. Wir behaupten S+(-S)=0.Zuerst müssen wir aber zeigen, dass -S tatsächlich ein Schnitt ist.

Hallo,
Ich habe bei dem Beweiß aus dem Buch Probleme bei dem Aufzeigen der zweiten Schnitteigenschaft.

Die Beweise dazu, dass -S nicht leer ist, nach unten beschränkt und dass [mm] \forall [/mm] q [mm] \in \IQ\setminus (-S):\forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S: s [mm] \ge [/mm] q gilt sind mir klar.
Aber der Beweis zu Eigenschaft (S2) eines [mm] Schnitten:\forall s\in [/mm] S: [mm] \exists [/mm] s' [mm] \in [/mm] S: s>s' nicht.

Zitiert aus dem Buch:
"(S2) beweisen wir indirekt. Sei q [mm] \in [/mm] (-S) gegeben,sodass [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] (-S): q [mm] \le [/mm] t. Dann ist q eine untere Schranke von -S, also ein Mimimum und erst recht ein Infimum von -S. Das ist aber unmöglich wegen der Definition von -S.
Falls [mm] \overline{s}:=inf [/mm] S existiert, dann ist [mm] -\overline{s} [/mm] das Supremum der Menge [mm] \overline{S}:=\{-s|s\in S\}, [/mm] des Komplementes von -S, und damit das Infimum von -S. Nach definition ist [mm] -\overline{s}\not\in [/mm] (-S)"
[mm] \Box [/mm]

Ich hab schon Probleme im Aufbau des Beweises, dass ich nicht weiß warum die Gültigkeit von (S2) dann überhaupt folgt.
Weitere Schwierigkeit liegt hier:

> Das ist aber unmöglich wegen der Definition von -S.

Wir haben doch hier gar keine verbindung zwischen Inf S und dem Inf(-S). Warum soll [mm] Inf(-S)\in [/mm] -S gegen die definition von (-S) sprechen?

> und damit das Infimum von -S.

Hier hab ich auch Probleme, wieso [mm] sup(\overline{S})=inf(-S) [/mm]
Ich meine das es eine untere Schranke ist, ist klar: [mm] sup(\overline{S})=-\overline{s} [/mm] < q [mm] \forall [/mm] q [mm] \in [/mm] -S
folgt da [mm] -\overline{s} [/mm] > -s [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] S aber [mm] \overline{s} [/mm] = Inf(S) => [mm] \overline{s} \not\in [/mm] (-S). Würde -s [mm] \ge [/mm] q sein dann wäre das ein Widerspruch zu [mm] \overline{s} \not\in [/mm] (-S)

LG,
sissi

        
Bezug
Inverse von Schnitten bez Add: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 Mo 27.10.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissi,

> Betrachten wir einen Schnitt S. Wir definieren
>  [mm]-S:=\{q \in \IQ| \forall s\in S : q >-s\wedge\forall t\in\IQ:(t=inf S=>q\not=-t)\}[/mm]
>  
> den zu S negativen Schnitt. Wir behaupten S+(-S)=0.Zuerst
> müssen wir aber zeigen, dass -S tatsächlich ein Schnitt
> ist.
>  Hallo,
>  Ich habe bei dem Beweiß aus dem Buch Probleme bei dem
> Aufzeigen der zweiten Schnitteigenschaft.

zwei Tipps bzgl. Deiner ART der Fragestellung:
1. Irgendwo in der Überschrift sollte sowas wie "Dedekindsche Schnitte"
auftauchen.

2. Es wäre gut, immer auch das Buch zu benennen, wenn Du eines erwähnst.
Das hat auch den Vorteil, dass der ein oder andere (Fred) es vielleicht
in seinem Regal stehen hat und direkt auch mal reingucken kann.

Vermutlich bist Du gerade zu übereifrig, so dass Du das nur vergessen
hast. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Inverse von Schnitten bez Add: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Mo 27.10.2014
Autor: sissile

Hallo Marcel,

Ja du hast recht, hätte ich besser angegeben. Nur dachte ich, da die meisten hier aus Deutschland sind und das Buch von Professoren der Uni Wien ist, es schon ein Zufall wäre wenn das Buch in einen der Regale der Helfer steht.

Das Buch:
Einführung in das mathematische Arbeiten - Hermann Schichl&Roland Steinbauer
Kapitel: Die mengentheoretische Konstruktion von [mm] \IR [/mm] mithilfe der Dedekindschen Schnitte.

Liebe Grüße,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Inverse von Schnitten bez Add: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:22 Di 28.10.2014
Autor: fred97


> Hallo Marcel,
>  
> Ja du hast recht, hätte ich besser angegeben. Nur dachte
> ich, da die meisten hier aus Deutschland sind und das Buch
> von Professoren der Uni Wien ist, es schon ein Zufall wäre
> wenn das Buch in einen der Regale der Helfer steht.

Wenn Du Dich da mal nicht täuscht ....

Ich habs in meinem "elektronischen Regal"

FRED

>  
> Das Buch:
>  Einführung in das mathematische Arbeiten - Hermann
> Schichl&Roland Steinbauer
>  Kapitel: Die mengentheoretische Konstruktion von [mm]\IR[/mm]
> mithilfe der Dedekindschen Schnitte.
>  
> Liebe Grüße,
>  sissi


Bezug
        
Bezug
Inverse von Schnitten bez Add: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:34 Di 28.10.2014
Autor: Helbig

Hallo Sissili,

> Betrachten wir einen Schnitt S. Wir definieren
>  [mm]-S:=\{q \in \IQ| \forall s\in S : q >-s\wedge\forall t\in\IQ:(t=inf S=>q\not=-t)\}[/mm]
>  
> den zu S negativen Schnitt. Wir behaupten S+(-S)=0.Zuerst
> müssen wir aber zeigen, dass -S tatsächlich ein Schnitt
> ist.
>  Hallo,
>  Ich habe bei dem Beweiß aus dem Buch Probleme bei dem
> Aufzeigen der zweiten Schnitteigenschaft.
>  
> Die Beweise dazu, dass -S nicht leer ist, nach unten
> beschränkt und dass [mm]\forall[/mm] q [mm]\in \IQ\setminus (-S):\forall[/mm]
> s [mm]\in[/mm] S: s [mm]\ge[/mm] q gilt sind mir klar.
>  Aber der Beweis zu Eigenschaft (S2) eines
> [mm]Schnitten:\forall s\in[/mm] S: [mm]\exists[/mm] s' [mm]\in[/mm] S: s>s' nicht.
>  
> Zitiert aus dem Buch:
>  "(S2) beweisen wir indirekt. Sei q [mm]\in[/mm] (-S) gegeben,sodass
> [mm]\forall[/mm] t [mm]\in[/mm] (-S): q [mm]\le[/mm] t. Dann ist q eine untere
> Schranke von -S, also ein Mimimum und erst recht ein
> Infimum von -S. Das ist aber unmöglich wegen der
> Definition von -S.
>  Falls [mm]\overline{s}:=inf[/mm] S existiert, dann ist
> [mm]-\overline{s}[/mm] das Supremum der Menge
> [mm]\overline{S}:=\{-s|s\in S\},[/mm] des Komplementes von -S, und
> damit das Infimum von -S. Nach definition ist
> [mm]-\overline{s}\not\in[/mm] (-S)"
>  [mm]\Box[/mm]
>  
> Ich hab schon Probleme im Aufbau des Beweises, dass ich
> nicht weiß warum die Gültigkeit von (S2) dann überhaupt
> folgt.
>  Weitere Schwierigkeit liegt hier:
>  > Das ist aber unmöglich wegen der Definition von -S.

Die Unmöglichkeit begründet der Autor im nächsten Abschnitt seines Beweises.

>  Wir haben doch hier gar keine verbindung zwischen Inf S
> und dem Inf(-S). Warum soll [mm]Inf(-S)\in[/mm] -S gegen die
> definition von (-S) sprechen?

Genau das begründet er. [mm] $\inf [/mm] -S [mm] \in [/mm] -S$ ist die Negation von S2. Und er folgert aus der Negation von S2 einen Widerspruch zur Definition. Damit zeigt er S2.

>  > und damit das Infimum von -S.

> Hier hab ich auch Probleme, wieso
> [mm]sup(\overline{S})=inf(-S)[/mm]
>  Ich meine das es eine untere Schranke ist, ist klar:
> [mm]sup(\overline{S})=-\overline{s}[/mm] < q [mm]\forall[/mm] q [mm]\in[/mm] -S
>  folgt da [mm]-\overline{s}[/mm] > -s [mm]\forall[/mm] s [mm]\in[/mm] S aber

> [mm]\overline{s}[/mm] = Inf(S) => [mm]\overline{s} \not\in[/mm] (-S). Würde
> -s [mm]\ge[/mm] q sein dann wäre das ein Widerspruch zu
> [mm]\overline{s} \not\in[/mm] (-S)

Gruß,
Wolfgang


Bezug
                
Bezug
Inverse von Schnitten bez Add: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:39 Di 28.10.2014
Autor: sissile

Hallo Helbig,
Danke für die Antwort.
Die Beweisführung wurde mir damit klar.

In stecke jetzt nur noch bei der Aussage:
$ [mm] sup(\overline{S})=inf(-S) [/mm] $
Also das das Supremum der Menge [mm] \overline{S}:=\{-s|s\in S\} [/mm] das Infimum von (-S) ist.
[mm] 1)\forall [/mm] q [mm] \in [/mm] (-S): [mm] sup(\overline{S}) \le [/mm] q
Da [mm] sup(\overline{S}) [/mm] = - inf (S) => [mm] sup(\overline{S}) \notin [/mm] (-S)
Aus [mm] \exists [/mm] q [mm] \in [/mm] (-S): [mm] sup(\overline{S}) [/mm] > q würde folgen  [mm] sup(\overline{S}) \in [/mm] (-S) da (-S) (S1) erfüllt. Wid
[mm] 2)sup(\overline{S}) [/mm] größte untere Schranke
Sei t [mm] >sup(\overline{S}) [/mm]
Hast du da einen Rat für die Beweisführung?

LG,
sissi

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Bezug
Inverse von Schnitten bez Add: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Do 30.10.2014
Autor: sissile

Bitte nochmal nach oben schieben für die Chance einer Antwort ;P

LG,
sissi

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Inverse von Schnitten bez Add: veranschaulichen.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Do 30.10.2014
Autor: Helbig

Hallo Sissi,

> In stecke jetzt nur noch bei der Aussage:

Nanu.

>  [mm]sup(\overline{S})=inf(-S)[/mm]

Versuch's doch mal anschaulich: Die Menge $S$ am Ursprung gespiegelt ist die Menge [mm] $\overline [/mm] S$ und die Menge $-S$ sind gerade die Punkte rechts von [mm] $\overline [/mm] S$ mit einer Ausnahme! Dieser Fall in der Definition von $-S$ tritt genau dann ein, wenn das Infimum von $S$ rational ist.

Dann ist das Supremum von [mm] $\overline [/mm] S$ ebenfalls rational und würde rechts von allen Punkten in [mm] $\overline [/mm] S$ liegen. Wäre nun in der Definition von $-S$ nicht die Ausnahme eingebaut, so enthielte die Menge $-S$ ihr Infimum. Aber nach der Definition ist dieser Wert nicht in $-S$ enthalten, und damit hat $-S$ die Eigenschaft S2 und ist ein Schnitt.

Gruß,
Wolfgang

Bezug
                                
Bezug
Inverse von Schnitten bez Add: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:51 Fr 31.10.2014
Autor: sissile

Hallo nochmal,
Aber was spricht dagegen wenn wir ein t haben mit: t> -inf S , dann gilt [mm] \forall s\in [/mm] S: t> -inf S > -s [mm] \Rightarrow [/mm] t [mm] \in [/mm] (-S)
Dann würde es doch kein Element in (-S) geben, dass kleiner ist als t und so t als untere Schranke widersprechen. Denn -inf(S) ist ja laut definition kein Element der Menge (-S).

Liebe Grüße,
sissi

Bezug
                                        
Bezug
Inverse von Schnitten bez Add: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Fr 31.10.2014
Autor: Helbig


> Hallo nochmal,
>  Aber was spricht dagegen wenn wir ein t haben mit: t> -inf

> S , dann gilt [mm]\forall s\in[/mm] S: t> -inf S > -s [mm]\Rightarrow[/mm] t
> [mm]\in[/mm] (-S)

nichts!

Aber wenn [mm] $t=\inf [/mm] S$ ist, und wir $-t$ in der Definition von $-S$ nicht ausschlössen, enthielte die Menge $-S$ ihr Infimum und würde damit der Eigenschaft S2 nicht genügen, wäre also kein Schnitt.

Gruß,
Wolfgang



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