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| Aufgabe | p Primzahl, n [mm] \ge [/mm] 1. [mm] \IZ/p^{n}\IZ [/mm] Restklassenring.
Die Restklassenabbildung [mm] \IZ \to \IZ/p^{n}\IZ [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] x mod [mm] p^{n} [/mm] verschwindet auf [mm] p^{m}\IZ [/mm] für alle m [mm] \ge [/mm] n; d.h. es gibt Restklassenabbildungen [mm] \rho_{n} [/mm] : [mm] \IZ/p^{n+1}\IZ \to \IZ/p^{n}\IZ. [/mm] |
Hallo,
ich versuche gerade die Konstruktion des inversen (/projektiven) Limes' zu verstehen. Als Grundlage dafür dient obige Aussage. Dabei sind mir zwei Dinge nicht ganz klar:
1. Sind die Elemente des Restklassenrings [mm] \IZ/p^{n}\IZ [/mm] wieder Restklassenringe für jeweils feste p (d.h. es gäbe n Elemente, die dann wieder [mm] p^{n} [/mm] Restklassen enthalten?)? Oder sind es sämtliche Restklassen, die es für alle verschiedenen p und verschiedenen n insgesamt gibt?
2. (Hauptproblem:) Was bedeutet: "die Abbildung verschwindet"? Heißt das einfach, dass sie für m [mm] \ge [/mm] n nicht definiert ist? Das würde vielleicht erklären, wieso bei der Definition des inversen Limes dann [mm] \rho_{n}(x_{n+1}) [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] gilt?
Ich bin ziemlich verwirrt... Danke für jede Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Do 02.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> p Primzahl, n [mm]\ge[/mm] 1. [mm]\IZ/p^{n}\IZ[/mm] Restklassenring.
> Die Restklassenabbildung [mm]\IZ \to \IZ/p^{n}\IZ[/mm] , x [mm]\mapsto[/mm]
> x mod [mm]p^{n}[/mm] verschwindet auf [mm]p^{m}\IZ[/mm] für alle m [mm]\ge[/mm] n;
> d.h. es gibt Restklassenabbildungen [mm]\rho_{n}[/mm] :
> [mm]\IZ/p^{n+1}\IZ \to \IZ/p^{n}\IZ.[/mm]
>
> Hallo,
> ich versuche gerade die Konstruktion des inversen
> (/projektiven) Limes' zu verstehen. Als Grundlage dafür
> dient obige Aussage. Dabei sind mir zwei Dinge nicht ganz
> klar:
Mir scheint, deine Frage handelt nicht wirklich vom projektiven Limes, sondern allgemein von Restklassenringen.
> 1. Sind die Elemente des Restklassenrings [mm]\IZ/p^{n}\IZ[/mm]
> wieder Restklassenringe für jeweils feste p (d.h. es gäbe
> n Elemente, die dann wieder [mm]p^{n}[/mm] Restklassen enthalten?)?
Die Elemente von [mm] $\IZ/p^n\IZ$ [/mm] sind Nebenklassen $a + [mm] p^n\IZ$. [/mm] Davon gibt es [mm] $p^n$ [/mm] verschiedene, die du z.B. mit $a = 0, 1, [mm] \dots, p^n [/mm] - 1$ alle erhalten kannst.
> Oder sind es sämtliche Restklassen, die es für alle
> verschiedenen p und verschiedenen n insgesamt gibt?
> 2. (Hauptproblem:) Was bedeutet: "die Abbildung
> verschwindet"?
Allgemein sagt man in der Mathematik, dass eine Abbildung $f$ auf einer Menge $M$ verschwindet, wenn $f(M) = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] ist.
Hier bedeutet das also: die Abbildung [mm] $\IZ \to \IZ/p^n\IZ$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] x + [mm] p^n\IZ$ [/mm] bildet jedes Element aus [mm] $p^m\IZ$ [/mm] auf $0 = 0 + [mm] p^n\IZ$ [/mm] ab (das ist die 0 in [mm] $\IZ/p^n\IZ$).
[/mm]
Daraus, dass es auf [mm] $p^m\IZ$ [/mm] verschwindet, folgt mit Hilfe des Homomorphiesatzes, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung [mm] $\IZ/p^m\IZ \to \IZ/p^n\IZ$ [/mm] gibt mit $x + [mm] p^m\IZ \mapsto [/mm] x + [mm] p^n\IZ$.
[/mm]
(Fuer $n > m$ waere diese nicht wohldefiniert. Fuer $n [mm] \le [/mm] m$ ist sie es jedoch.)
> Heißt das einfach, dass sie für m [mm]\ge[/mm] n
> nicht definiert ist?
Doch, sie ist fuer jedes $m [mm] \ge [/mm] n$ definiert.
> Das würde vielleicht erklären, wieso
> bei der Definition des inversen Limes dann
> [mm]\rho_{n}(x_{n+1})[/mm] = [mm]x_{n}[/mm] gilt?
Das ist schlichtweg die Definition des projektiven Limes: er ist die Menge aller Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\rho_n(x_{n+1}) [/mm] = [mm] x_n$ [/mm] fuer alle $n$.
LG Felix
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