Inverses Element einer komplexen Zahl < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mi 16.06.2004 | | Autor: | sethia |
Hallo,
ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe:
Geg: u = 2+2i
Erläutern Sie, wie man zwei komplexe Zahlen in Polarkoordinatenform multiplizieren kann. Benutzen Sie diese Methode, um das inverse Element von u zu bestimmen und kontrollieren Sie das Ergebnis durch direkte Berechnung von u^-1.
OK, der erste Teil ist leicht:
Ich multipliziere zwei komplexe Zahlen in Polarkoordinatenform, indem ich die Beträge multipliziere und die Winkel addiere.
Die direkte Bestimmung von u^-1 ist auch kein Problem,
ABER:
ich komme einfach nicht drauf, wie ich das inverse Element über Multiplikation in Polarkoordinatenform ermitteln kann.
Vielen Dank für eure Hilfe
-s-
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo sethia!
Machen wir das doch mal:
Ich rechne zunächst $z= 2+2i$ in Polarkoordinaten um:
$z = [mm] (2^2 [/mm] + [mm] 2^2)^{1/2} \cdot e^{i \arctan(\frac{2}{2})} [/mm] = [mm] \sqrt{8} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}}$.
[/mm]
Nun muss gelten:
[mm]1 = z^{-1} \cdot z = re^{i\varphi} \cdot \sqrt{8} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} = r \cdot \sqrt{8} \cdot e^{i (\varphi + \frac{\pi}{4})}[/mm].
Dann ist klar, dass
$r = [mm] \frac{1}{\sqrt{8}}$ [/mm] und [mm] $\varphi [/mm] = [mm] -\frac{\pi}{4}$
[/mm]
gelten muss, also:
[mm] $z^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{8}} \cdot e^{- i\frac{\pi}{4}}$.
[/mm]
Rechnen wir das mal zurück:
[mm] $z^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{8}} \cdot e^{- i\frac{\pi}{4}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{8}} \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) [/mm] + [mm] \frac{1}{\sqrt{8}} \cdot \sin(\frac{- \pi}{4}) [/mm] i = [mm] \frac{1}{\sqrt{8}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}- \frac{1}{\sqrt{8}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] i = [mm] \frac{1}{4} [/mm] - [mm] \frac{1}{4}i$.
[/mm]
Die Probe, ob dann
$z [mm] \cdot z^{-1} [/mm] = (2+2i) [mm] \cdot (\frac{1}{4} [/mm] - [mm] \frac{1}{4}i) [/mm] = 1$
gilt, darfst du jetzt selber durchführen.
Melde dich bei (Nach-)Fragen einfach wieder.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Fr 18.06.2004 | | Autor: | sethia |
Hallo Julius,
erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort. Du hast mir schon sehr damit geholfen.
Jetzt weiß ich auch woran es lag:
1. Mir war die Form $ z = [mm] (2^2 [/mm] + [mm] 2^2)^{1/2} \cdot e^{i \arctan(\frac{2}{2})} [/mm] = [mm] \sqrt{8} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} [/mm] $, die du als Polarkoordiantenform benutzt nur als Euler-Form bekannt. Hab daraufhin nochmal nachgelesen und du hast natürlich recht. Vielen Dank dafür.
2. Was mir noch nicht ganz klar ist, ist warum folgendes gelten muss:
$ 1 = [mm] z^{-1} \cdot [/mm] z = [mm] re^{i\varphi} \cdot \sqrt{8} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} [/mm] = r [mm] \cdot \sqrt{8} \cdot e^{i (\varphi + \frac{\pi}{4})} [/mm] $
Warum muss ich hier gleich 1 setzen?
Liebe Grüße
s
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo sethia,
> 1. Mir war die Form [mm]z = (2^2 + 2^2)^{1/2} \cdot e^{i \arctan(\frac{2}{2})} = \sqrt{8} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} [/mm],
> die du als Polarkoordiantenform benutzt nur als Euler-Form
> bekannt. Hab daraufhin nochmal nachgelesen und du hast
> natürlich recht. Vielen Dank dafür.
Ich denke, ihr habt beide Recht, wenn du unter der Polarkoordinatendarstellung das hier verstanden hast:
[mm] $r*\left( \cos \phi +i*\sin \phi\right)$
[/mm]
Nach der Eulerschen Identität ist aber
[mm] $r*\left( \cos \phi +i*\sin \phi\right)=r*e^{i\phi}$
[/mm]
Das sind also beides nur Darstellungsweisen der Polarkoordinaten [mm] $(r,\phi)$
[/mm]
> 2. Was mir noch nicht ganz klar ist, ist warum folgendes
> gelten muss:
> [mm]1 = z^{-1} \cdot z = re^{i\varphi} \cdot \sqrt{8} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} = r \cdot \sqrt{8} \cdot e^{i (\varphi + \frac{\pi}{4})}[/mm]
>
> Warum muss ich hier gleich 1 setzen?
Weil du doch das Inverse berechnen wolltest?!
Für ein zu g inverses Element [mm] g^{-1} [/mm] einer Gruppe muß doch immer gelten: [mm] g*g^{-1}=1, [/mm] wobei "1" das neutrale Element der Gruppe ist, bei den komplexen Zahlen also 1.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Fr 18.06.2004 | | Autor: | sethia |
Hallo Marc,
vielen Dank für deine Hilfe, jetzt hab ich alles verstanden.
Noch kurz eine andere Frage:
Ich hätte noch eine andere Frage, jedoch auch zu den komplexen Zahlen. Ist es besser, ein neues Thema anzufangen oder kann ich die Frage auch direkt in diesem Thema stellen?
Liebe Grüße
s
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sethia,
> Ich hätte noch eine andere Frage, jedoch auch zu den
> komplexen Zahlen. Ist es besser, ein neues Thema anzufangen
> oder kann ich die Frage auch direkt in diesem Thema
> stellen?
Wenn wir nicht von einer vorherigen Diskussions profitieren können, oder die Frage nicht direkt Bezug auf einen Artikel der Diskussion nimmt, dann fange lieber eine neues Thema an.
Viele Grüße,
Marc
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Das Inverse kann man leicht zu Fuss ausrechnen, wenn man sich an die Identitaet
[mm] z \bar z = |z|^2 [/mm]
erinnert (binomische Formel!). Also ist allgemein
[mm] \bruch{1}{z} = \bruch{\bar z}{|z|^2 } [/mm]
und man kann das Inverse zu jeder komplexen Zahl sofort hinschreiben, meist ohne zu rechnen.
Hier: [mm] \bruch{1}{2+2i} = \bruch{1}{8}(2-2i)[/mm]
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