Inverses bei endlichen Körpen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 So 07.05.2006 | | Autor: | Lin_85 |
| Aufgabe | | Im Körper [mm] \IF_{109} [/mm] berechne man zu 89 die Inversen Elemente für beide Rechenoperationen |
Hallo zusammen,
kann mir jemand einen Tipp geben wie man sowas berechnet, ich habe die Vorlesung zu diesem Thema leider verpasst und komme dabei nicht weiter, wäre echt super wenn mir da jemand helfen könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Sali!
> Im Körper [mm]\IF_{109}[/mm] berechne man zu 89 die Inversen
> Elemente für beide Rechenoperationen
Ich nehme mal an, ihr habt [mm] $\IF_{109}$ [/mm] als [mm] $\IZ/109\IZ$ [/mm] definiert und wollt zu einer Restklasse zu $x [mm] \in \{ 0, \dots, 108 \}$ [/mm] wieder eine Restklasse in [mm] $\{ 0, \dots, 108 \}$. [/mm] Ich schreibe [mm] $\bar{x}$ [/mm] fuer die Restklasse von $x$.
Also: Es ist ja $k + (109 - k) = 109$, also in [mm] $\IF_{109}$ [/mm] gilt [mm] $\bar{k} [/mm] + [mm] \overline{109 - k} [/mm] = [mm] \overline{0}$. [/mm] Damit ist [mm] $-\bar{k} [/mm] = [mm] \overline{109 - k}$.
[/mm]
Ist nun $k [mm] \in \IZ$ [/mm] teilerfremd zu $109$, so gibt es Zahlen $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $1 = a k + b 109$. Dann ist aber [mm] $\overline{1} [/mm] = [mm] \overline{a} \overline{k} [/mm] + [mm] \overline{b} \overline{109} [/mm] = [mm] \overline{a} \overline{k} [/mm] + [mm] \overline{b} [/mm] 0 = [mm] \overline{a} \overline{k}$, [/mm] also [mm] $\overline{k}^{-1} [/mm] = [mm] \overline{a}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 07.05.2006 | | Autor: | Lin_85 |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich komme damit aber leider nicht wirklich weiter, wäre super wenn mir das jemand anhand eines konkretten Beispiels erläutern könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich komme damit aber leider nicht wirklich weiter, wäre
> super wenn mir das jemand anhand eines konkretten Beispiels
> erläutern könnte.
Ok, mal ein etwas kleineres Beispiel: In [mm] $\IZ_7$ [/mm] betrachten wir $a = 2$.
Es ist $2 + 5 = 2 + (7 - 2) = 7$, womit [mm] $-\overline{2} [/mm] = [mm] \overline{5}$ [/mm] ist.
Und es ist $4 [mm] \cdot [/mm] 2 - 1 [mm] \cdot [/mm] 7 = 1$ (hier kann man das sehen, bei groesseren Zahlen verwendet man den erweiterten Euklidischen Algorithmus), womit [mm] $\overline{2}^{-1} [/mm] = [mm] \overline{4}$ [/mm] ist.
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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