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| Aufgabe | | Man weiss von der 5x5-Matrix, A = [mm] \pmat{2 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 &1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 } [/mm] , dass sie das Minimalpolynom [mm] (x-1)^2 [/mm] (x-2) hat. Berechne mit der Hand A^(-1) , ohne sich die Finger zu brechen. |
Bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe! Das Minimalpolynom habe ich bis jetzt immer aus der Jordanschen Normalform ermittelt, aber umgekehrt ist doch die Jordansche Normalform nicht durch das Minimalpolynom eindeutig bestimmt. und was hätte die überhaupt mit dem Invertieren von Matrizen zu tun?
lg,
Natalie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Natalie!
> Man weiss von der 5x5-Matrix, A = [mm]\pmat{2 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 &1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 }[/mm]
> , dass sie das Minimalpolynom [mm](x-1)^2[/mm] (x-2) hat. Berechne
> mit der Hand A^(-1) , ohne sich die Finger zu brechen.
> Bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe! Das Minimalpolynom habe
> ich bis jetzt immer aus der Jordanschen Normalform
> ermittelt, aber umgekehrt ist doch die Jordansche
> Normalform nicht durch das Minimalpolynom eindeutig
> bestimmt.
Das Minimalpolynom ist das normierte Polynom von kleinsten Grad, welches die Matrix $A$ als `Nullstelle' hat. Und es teilt jedes andere Polynom, welches $A$ als `Nullstelle' hat.
Sei [mm] $E_n$ [/mm] die $n [mm] \times [/mm] n$-Einheitsmatrix.
Du musst also zeigen: $(A - 1 [mm] E_5)^2 [/mm] (A - 2 [mm] E_5) [/mm] = 0$, jedoch $(A - 1 [mm] E_5) [/mm] (A - 2 [mm] E_5) \neq [/mm] 0$, $(A - 1 [mm] E_5)^2 \neq [/mm] 0$, $(A - 1 [mm] E_5) \neq [/mm] 0$ und $(A - 2 [mm] E_5) \neq [/mm] 0$. (Hast du ne Idee warum das ausreicht?)
> und was hätte die überhaupt mit dem Invertieren
> von Matrizen zu tun?
Es ist $A [mm] \cdot (A^2 [/mm] - 4 A + 5 [mm] E_5) [/mm] = 2 [mm] E_n$ [/mm] (da $(A - 1 [mm] E_5)^2 [/mm] (A - 2 [mm] E_5) [/mm] = 0$ ist), womit $A [mm] \cdot \frac{1}{2} (A^2 [/mm] - 4 A + 5 [mm] E_5) [/mm] = [mm] E_5$ [/mm] ist. Aber damit ist gerade [mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (A^2 [/mm] - 4 A + 5 [mm] E_5)$!
[/mm]
Der Trick funktioniert uebrigens genau dann, wenn das Minimalpolynom keine Nullstelle hat. Aber das ist aequivalent dazu, dass die Matrix invertierbar ist, also geht der Trick bei jeder invertierbaren Matrix...
Du kannst uebrigens genauso das charakteristische Polynom nehmen, damit gehts auch...
LG Felix
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