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| Aufgabe | Zeige dass folgende Matrix über den Körper [mm] \IQ, \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] invertierbar ist und betimme ihr Inverses.
A= [mm] \pmat{ 1 & 0&0&0\\ 0&2&0&0 \\0&0&3&0 \\ 0&0&0&4} [/mm] |
Ich habe was Matrizen angeht leider nur die Grundkenntnisse von der Einführungsvorlesung drauf. Da Matrizen erst später in einer Linearen Algebra-Vorlesung kommt.
Könnt ihr mir einen Tipp geben wo ich solch eine Aufgabe wie oben nachschlagen könnte?
Ich weiß nur wie ich das Inverse bei 2x2 Matrixen bilde. Außerdem wenn die Determinante der 2x2Matrix gleich 0 ist, ist sie nicht invertierbar. Außerdem ist eine Matrix invertierbar wenn eine Matrix A' existiert so dass [mm] A*A'=I_n.
[/mm]
Wie bilde ich aber die Determinante einer solchen Matrix wie oben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Fr 30.12.2011 | | Autor: | Lustique |
Versuchs mal ![[]](/images/popup.gif) hiermit. Ist nicht ganz leicht, wenn man es noch nie gemacht hat, aber an Beispielen wie denen dort sieht man ganz gut wies funktioniert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Fr 30.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Verfahren, die inverse zu bestimmen ist in allen dimensionen gleich, und mit dieser Matrix (nur Diagonalelemente ) sehr einfach. Die det ist bei Diagonalmatr einfach das produkt der Diagonalelemente also hier ungleich 0.
Gruss leduart
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> Hallo
> das Verfahren, die inverse zu bestimmen ist in allen
> dimensionen gleich, und mit dieser Matrix (nur
> Diagonalelemente ) sehr einfach. Die det ist bei
> Diagonalmatr einfach das produkt der Diagonalelemente also
> hier ungleich 0.
> Gruss leduart
bei 2x2 Matrix
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{ad-bc} \pmat{ d &-b \\ -c & a }
[/mm]
wobei ad-bc die Determinante ist.
Für mich ist das nicht wie du sagst, relativ einfach auch auf "höhere Matrizen" anwendbar.
Ah, das die Determinante gleich das Produkt der Diagonalelemente bei Matrixen nur mit Diagonalelementen ist supa, da ich nur solche als Aufgabe habe ;)
Vlt. hat noch wer einen guten Link zum Inversen ausrechnen. ;)
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Fr 30.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du einfach A*A'=I aufschreibst, bekommst du ein einfaches GS, wegen der vielen Nullen leicht zu lösen. probiers mal für das 2*2 System mit 3 und 4 in der Diagonalen, dann siehst du schon, wie es für das 4*4 läuft! (aber nicht in deine fertige formel einsetzen sondern explizit das GS lösen!
wie man es auch machen kann siehe hier
Gruss leduart
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Ah,danke
Ich werde mich morgen noch genauer damit befassen, aber die Methode hab ich verstanden und das Inverse raus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1/2 &0 &0 \\ 0 & 0 &1/3 &0 \\ 0 & 0 &0 &1/4 }
[/mm]
Jetzt steht noch unter dem Bsp.:
Ist die Matrix über den Körpern [mm] \IZ_3, \IZ_5, [/mm] und [mm] \IZ_7 [/mm] invertierbar?
det A=24
Also unter [mm] \IZ_3 [/mm] ist 24 [mm] \equiv [/mm] 0 -> nicht invertierbar
[mm] \IZ_5 [/mm] und [mm] \IZ_7 [/mm] schon invertierbar.
Korrekt?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Fr 30.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die methode verstanden hast solltest du in [mm] Z_3 [/mm] auch ohne det sehen, dass beim invertieren da ja in der diagonalen ne 0 steht und daraus 1 hinzukriegen sollte schwer sein ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruss leduart
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