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| Aufgabe | Beweise den folgenden Satz:
Sei $F: V [mm] \to [/mm] W$ eine lineare Abbildung und $V$ endlichdimensional. Dann sind gleichwertig:
i) $f$ ist invertierbar
ii) $f$ ist invertierbar und sein inverses Element ist linear
iii) $f$ ist ein Isomorphismus
iv) $f$ ist injektiv
v) $f$ ist surjektiv |
Hallo :)
Dass iii), iv) und v) gleichwertig sind, haben wir früher schon bewiesen. Man muss also nur zeigen, dass i), ii) und iii) gleichwertig sind (weil iii) iv) und v) einschließt). Ich hab jetzt nur Probleme damit, zu verstehen, was damit eigentlich genau gemeint ist. Wie beweise ich, dass etwas gleichwertig ist? Muss ich das als Äquivalenzbeziehungen sehen? Es wäre praktisch, das erst mal erklärt zu bekommen, bevor ich weitermachen kann.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Do 20.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Beweise den folgenden Satz:
>
> Sei [mm]F: V \to W[/mm] eine lineare Abbildung und [mm]V[/mm]
> endlichdimensional. Dann sind gleichwertig:
> i) [mm]f[/mm] ist invertierbar
> ii) [mm]f[/mm] ist invertierbar und sein inverses Element ist
> linear
> iii) [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus
> iv) [mm]f[/mm] ist injektiv
> v) [mm]f[/mm] ist surjektiv
> Hallo :)
>
> Dass iii), iv) und v) gleichwertig sind, haben wir früher
> schon bewiesen. Man muss also nur zeigen, dass i), ii) und
> iii) gleichwertig sind (weil iii) iv) und v) einschließt).
> Ich hab jetzt nur Probleme damit, zu verstehen, was damit
> eigentlich genau gemeint ist. Wie beweise ich, dass etwas
> gleichwertig ist? Muss ich das als Äquivalenzbeziehungen
> sehen? Es wäre praktisch, das erst mal erklärt zu
> bekommen, bevor ich weitermachen kann.
Kurz: gleichwertig bedeutet äquivalent.
Wenn Du zwei Aussagen A und B hast, so bedeutet " A und B sind gleichwertig":
aus A folgt B und aus B folgt A.
FRED
>
> Liebe Grüße.
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> > Beweise den folgenden Satz:
> >
> > Sei [mm]F: V \to W[/mm] eine lineare Abbildung und [mm]V[/mm]
> > endlichdimensional. Dann sind gleichwertig:
> > i) [mm]f[/mm] ist invertierbar
> > ii) [mm]f[/mm] ist invertierbar und sein inverses Element ist
> > linear
> > iii) [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus
> > iv) [mm]f[/mm] ist injektiv
> > v) [mm]f[/mm] ist surjektiv
Ok, also:
i) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ii)
Wir nehmen einen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ der aus den Basiselementen [mm] $\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] von $V$ und [mm] $a_i \in \IR$ [/mm] gebildet werden kann:
$ [mm] v=a_1v_1+\ldots+a_nv_n$
[/mm]
Wir wissen, dass $g(f(v))=v$, wobei $g$ das Inverse von $f$ ist. Also:
$ v = [mm] a_1*g(f(v_1))+\ldots+a_n*g(f(v_n)) [/mm] = [mm] g(a_1*f(v_1)+\ldots+a_n*f(v_n))$,
[/mm]
was zeigt, dass $g$ linear ist.
ii) [mm] $\Leftarrow$ [/mm] i)
Wenn man annimmt, dass $f$ invertierbar ist, dann ist i) schon bewiesen.
ii) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] iii)
Hier bleib ich hängen. Ich weiß zwar schon, dass $f$ linear ist, aber wie soll ich mit der Information, dass das Inverse linear ist, nachweisen, dass $f$ auch injektiv und surjektiv ist?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Do 20.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> > > Beweise den folgenden Satz:
> > >
> > > Sei [mm]F: V \to W[/mm] eine lineare Abbildung und [mm]V[/mm]
> > > endlichdimensional. Dann sind gleichwertig:
> > > i) [mm]f[/mm] ist invertierbar
> > > ii) [mm]f[/mm] ist invertierbar und sein inverses Element ist
> > > linear
> > > iii) [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus
> > > iv) [mm]f[/mm] ist injektiv
> > > v) [mm]f[/mm] ist surjektiv
>
> Ok, also:
>
> i) [mm]\Rightarrow[/mm] ii)
> Wir nehmen einen Vektor [mm]v \in V[/mm] der aus den Basiselementen
> [mm]\{v_1,\ldots,v_n\}[/mm] von [mm]V[/mm] und [mm]a_i \in \IR[/mm] gebildet werden
> kann:
>
> [mm]v=a_1v_1+\ldots+a_nv_n[/mm]
>
> Wir wissen, dass [mm]g(f(v))=v[/mm], wobei [mm]g[/mm] das Inverse von [mm]f[/mm] ist.
> Also:
>
> [mm]v = a_1*g(f(v_1))+\ldots+a_n*g(f(v_n)) = g(a_1*f(v_1)+\ldots+a_n*f(v_n))[/mm],
>
> was zeigt, dass [mm]g[/mm] linear ist.
>
> ii) [mm]\Leftarrow[/mm] i)
> Wenn man annimmt, dass [mm]f[/mm] invertierbar ist, dann ist i)
> schon bewiesen.
Zeige einen Ringschluss, das spart Arbeit.. also quasi
[mm] $(i)\Rightarrow(ii)\Rightarrow(iii)\Rightarrow(iv)\Rightarrow(v)\Rightarrow(i)$
[/mm]
>
> ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii)
> Hier bleib ich hängen. Ich weiß zwar schon, dass [mm]f[/mm]
> linear ist, aber wie soll ich mit der Information, dass das
> Inverse linear ist, nachweisen, dass [mm]f[/mm] auch injektiv und
> surjektiv ist?
Eigentlich sollte linear und bijektiv schon reichen für den Isomorphismus.
Eine lineare Abbildung heißt Homomorphismus, ein bijektiver Hom. heißt Isomorphismus. Dass dann auch die Umkehrfunktion linear ist, brauchst du hier nicht.
> Liebe Grüße.
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Hi,
>
> Zeige einen Ringschluss, das spart Arbeit.. also quasi
> [mm](i)\Rightarrow(ii)\Rightarrow(iii)\Rightarrow(iv)\Rightarrow(v)\Rightarrow(i)[/mm]
> >
> [...]
> Eigentlich sollte linear und bijektiv schon reichen für
> den Isomorphismus.
> Eine lineare Abbildung heißt Homomorphismus, ein
> bijektiver Hom. heißt Isomorphismus. Dass dann auch die
> Umkehrfunktion linear ist, brauchst du hier nicht.
>
Ich versuch's noch mal.
i) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ii)
Man nehme ein $v [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] als Basis für $V$. $v$ lässt sich also darstellen als
[mm] $v=a_1v_1+\ldots+a_nv_n$,
[/mm]
mit [mm] $a_i \in \IR$. [/mm] Das bedeutet:
[mm] $v=a_1*g(f(v_1))+ \ldots [/mm] + [mm] a_n*g(f(v_n))=g(a_1*f(v_1)+\ldots+a_n*f(v_n))$
[/mm]
Das zeigt schon, dass $g$ linear ist.
ii) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] iii)
Wir wissen, dass $f(g(v))=v$ für alle $v [mm] \in [/mm] V$. Das heißt, dass alle $v [mm] \in [/mm] V$ auf sich selbst abgebildet werden und auf nichts Anderes, was bedeutet, dass $f$ bijektiv ist und somit ein Isomorphismus.
iii) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] i)
Da wir früher schon bewiesen haben, dass $iii) [mm] \Rightarrow [/mm] iv) [mm] \Rightarrow [/mm] v)$, gehe ich von iii) direkt zu i) zurück.
Wir nehmen die Vektoren $v, v' [mm] \in [/mm] V$ für die gilt, dass
$f(v)=v'$ und
$g(v')=v$
(für alle $v, v'$), da $g$ jeden Vektor aus der Bildmenge von $f$ zurück abbildet auf den Ursprungsvektor. Das heißt auch, dass $v=v'$, was uns sagt, dass
$f(g(v'))=v=v'=g(f(v))$
und damit, dass $f$ invertierbar ist.
Ist das so in Ordnung? Ich weiß nicht, ob ich Sachen gemacht habe, die man machen darf.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 20.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> Hi,
>
> >
> > Zeige einen Ringschluss, das spart Arbeit.. also quasi
> >
> [mm](i)\Rightarrow(ii)\Rightarrow(iii)\Rightarrow(iv)\Rightarrow(v)\Rightarrow(i)[/mm]
> > >
> > [...]
> > Eigentlich sollte linear und bijektiv schon reichen für
> > den Isomorphismus.
> > Eine lineare Abbildung heißt Homomorphismus, ein
> > bijektiver Hom. heißt Isomorphismus. Dass dann auch die
> > Umkehrfunktion linear ist, brauchst du hier nicht.
> >
>
> Ich versuch's noch mal.
>
> i) [mm]\Rightarrow[/mm] ii)
> Man nehme ein [mm]v \in V[/mm] und [mm]\{v_1,\ldots,v_n\}[/mm] als Basis
> für [mm]V[/mm]. [mm]v[/mm] lässt sich also darstellen als
>
> [mm]v=a_1v_1+\ldots+a_nv_n[/mm],
>
> mit [mm]a_i \in \IR[/mm]. Das bedeutet:
>
> [mm]v=a_1*g(f(v_1))+ \ldots + a_n*g(f(v_n))=g(a_1*f(v_1)+\ldots+a_n*f(v_n))[/mm]
>
> Das zeigt schon, dass [mm]g[/mm] linear ist.
Du musst Linearität zeigen: $g(a*v)=a*g(v)$ und $g(v+w)=g(v)+g(w)$
> ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii)
> Wir wissen, dass [mm]f(g(v))=v[/mm] für alle [mm]v \in V[/mm]. Das heißt,
> dass alle [mm]v \in V[/mm] auf sich selbst abgebildet werden und auf
> nichts Anderes, was bedeutet, dass [mm]f[/mm] bijektiv ist und somit
> ein Isomorphismus.
Mit dieser Argumentation ist nur f°g ein Isomorphismus. Aber du hast bestimmt einen Satz, dass Funktionen genau dann bijektiv sind, wenn eine Umkehrfunktion existiert. Ansonsten musst du zeigen, dass $g$ injektiv und surjektiv ist.
> iii) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> Da wir früher schon bewiesen haben, dass [mm]iii) \Rightarrow iv) \Rightarrow v)[/mm],
> gehe ich von iii) direkt zu i) zurück.
Dann hast du eine Äquivalenzklasse mit (i),(ii) und (iii) sowie dass, was ihr gezeigt habt, geh besser (ii)=>(iii) und (v)=>(i), denn das willst du.
> Wir nehmen die Vektoren [mm]v, v' \in V[/mm] für die gilt, dass
>
> [mm]f(v)=v'[/mm] und
> [mm]g(v')=v[/mm]
>
> (für alle [mm]v, v'[/mm]), da [mm]g[/mm] jeden Vektor aus der Bildmenge von
> [mm]f[/mm] zurück abbildet auf den Ursprungsvektor. Das heißt
> auch, dass [mm]v=v'[/mm], was uns sagt, dass
>
> [mm]f(g(v'))=v=v'=g(f(v))[/mm]
>
> und damit, dass [mm]f[/mm] invertierbar ist.
>
> Ist das so in Ordnung? Ich weiß nicht, ob ich Sachen
> gemacht habe, die man machen darf.
>
> Liebe Grüße.
>
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Hallo,
> Du musst Linearität zeigen: [mm]g(a*v)=a*g(v)[/mm] und
> [mm]g(v+w)=g(v)+g(w)[/mm]
>
Seien [mm] $v_1, v_2 \in [/mm] V$, dann:
[mm] $g(v_1+v_2)=g(f(g(v_1))+f(g(v_2)))=g(f(g(v_1)+g(v_2)))=g(v_1)+g(v_2)$
[/mm]
Seien außerdem $v [mm] \in [/mm] V$ und $a [mm] \in \IR$, [/mm] dann:
$g(av)=g(af(g(v)))=g(f(ag(v)))=ag(v)$.
So?
> > ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii)
> > Wir wissen, dass [mm]f(g(v))=v[/mm] für alle [mm]v \in V[/mm]. Das
> heißt,
> > dass alle [mm]v \in V[/mm] auf sich selbst abgebildet werden und auf
> > nichts Anderes, was bedeutet, dass [mm]f[/mm] bijektiv ist und somit
> > ein Isomorphismus.
>
> Mit dieser Argumentation ist nur f°g ein Isomorphismus.
> Aber du hast bestimmt einen Satz, dass Funktionen genau
> dann bijektiv sind, wenn eine Umkehrfunktion existiert.
> Ansonsten musst du zeigen, dass [mm]g[/mm] injektiv und surjektiv
> ist.
ii) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] iii)
Um zu zeigen, dass $f$ injektiv ist, muss gelten, dass [mm] $ker(f)=\{0\}$. [/mm] Das heißt, wir müssen zeigen, dass $f(v)=0$ mit $v=0$, also $f(0)=0$. Weil wir wissen, dass $f$ invertierbar ist, können wir schreiben
$ f(g(0))=0$.
Wegen der oben genannten Bedingung muss also $g(0)=0$ sein. Der Kern von $f$ besteht also aus dem Nullvektor und $f$ ist injektiv.
Aus dem Dimensionssatz folgt dann, dass $f$ auch surjektiv sein muss, weil
$ dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] dim(V) = dim(Im(f))$
$f$ ist also ein Isomorphismus, weil linear und bijektiv.
v) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] i)
Hier habe ich eine Idee, ich weiß nur nicht recht, wie man das formalisieren muss.
Wenn wir annehmen, dass $f$ surjektiv ist, bedeutet das, dass $Im(f)=V$ ist. Es gilt also für alle $v' [mm] \in [/mm] V$ (Bildmenge) und für $v [mm] \in [/mm] V$ (Anfangsmenge), dass $f(v)=v'$. Jeder Vektor in der Bildmenge hat also (mindestens) einen Vektor in der Anfangsmenge. Es gibt also auch eine Funktion, die jeden Vektor der Bildmenge von $f$ zurück abbildet auf die ursprünglichen Vektoren.
Wie gesagt: Ich hoffe, dass die Idee richtig ist, aber ich weiß nicht wie ich das genau aufschreiben muss. Vielleicht kann mir hier auch jemand helfen.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Fr 21.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> Hallo,
>
> > Du musst Linearität zeigen: [mm]g(a*v)=a*g(v)[/mm] und
> > [mm]g(v+w)=g(v)+g(w)[/mm]
> >
>
> Seien [mm]v_1, v_2 \in V[/mm], dann:
>
> [mm]g(v_1+v_2)=g(f(g(v_1))+f(g(v_2)))=g(f(g(v_1)+g(v_2)))=g(v_1)+g(v_2)[/mm]
>
> Seien außerdem [mm]v \in V[/mm] und [mm]a \in \IR[/mm], dann:
>
> [mm]g(av)=g(af(g(v)))=g(f(ag(v)))=ag(v)[/mm].
>
> So?
Kann man so machen.
>
> > > ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii)
> > > Wir wissen, dass [mm]f(g(v))=v[/mm] für alle [mm]v \in V[/mm]. Das
> > heißt,
> > > dass alle [mm]v \in V[/mm] auf sich selbst abgebildet werden und auf
> > > nichts Anderes, was bedeutet, dass [mm]f[/mm] bijektiv ist und somit
> > > ein Isomorphismus.
> >
> > Mit dieser Argumentation ist nur f°g ein Isomorphismus.
> > Aber du hast bestimmt einen Satz, dass Funktionen genau
> > dann bijektiv sind, wenn eine Umkehrfunktion existiert.
> > Ansonsten musst du zeigen, dass [mm]g[/mm] injektiv und surjektiv
> > ist.
>
> ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii)
> Um zu zeigen, dass [mm]f[/mm] injektiv ist, muss gelten, dass
> [mm]ker(f)=\{0\}[/mm]. Das heißt, wir müssen zeigen, dass [mm]f(v)=0[/mm]
> mit [mm]v=0[/mm], also [mm]f(0)=0[/mm].
Genauer: $f(v)=0 [mm] \gdw [/mm] v=0$
Wie habt ihr Isomorphismus denn definiert? Vielleicht ist hier gar nichts zu zeigen.
> Weil wir wissen, dass [mm]f[/mm] invertierbar
> ist, können wir schreiben
>
> [mm]f(g(0))=0[/mm].
>
> Wegen der oben genannten Bedingung muss also [mm]g(0)=0[/mm] sein.
> Der Kern von [mm]f[/mm] besteht also aus dem Nullvektor und [mm]f[/mm] ist
> injektiv.
>
> Aus dem Dimensionssatz folgt dann, dass [mm]f[/mm] auch surjektiv
> sein muss, weil
>
> [mm]dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))[/mm]
> [mm]\Rightarrow dim(V) = dim(Im(f))[/mm]
>
> [mm]f[/mm] ist also ein Isomorphismus, weil linear und bijektiv.
>
> v) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> Hier habe ich eine Idee, ich weiß nur nicht recht, wie
> man das formalisieren muss.
>
> Wenn wir annehmen, dass [mm]f[/mm] surjektiv ist, bedeutet das, dass
> [mm]Im(f)=V[/mm] ist. Es gilt also für alle [mm]v' \in V[/mm] (Bildmenge)
> und für [mm]v \in V[/mm] (Anfangsmenge), dass [mm]f(v)=v'[/mm]. Jeder Vektor
> in der Bildmenge hat also (mindestens) einen Vektor in der
> Anfangsmenge. Es gibt also auch eine Funktion, die jeden
> Vektor der Bildmenge von [mm]f[/mm] zurück abbildet auf die
> ursprünglichen Vektoren.
Ich würde überlegen: Im schlimmsten Fall ist $f$ nicht injektiv. Dann existieren aber....
Kannst du das zum Widerspruch führen? Dann bist du da.
>
> Wie gesagt: Ich hoffe, dass die Idee richtig ist, aber ich
> weiß nicht wie ich das genau aufschreiben muss. Vielleicht
> kann mir hier auch jemand helfen.
>
> Liebe Grüße.
>
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Hallo,
> > ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii)
> > Um zu zeigen, dass [mm]f[/mm] injektiv ist, muss gelten, dass
> > [mm]ker(f)=\{0\}[/mm]. Das heißt, wir müssen zeigen, dass [mm]f(v)=0[/mm]
> > mit [mm]v=0[/mm], also [mm]f(0)=0[/mm].
>
> Genauer: [mm]f(v)=0 \gdw v=0[/mm]
>
> Wie habt ihr Isomorphismus denn definiert? Vielleicht ist
> hier gar nichts zu zeigen.
Wir haben einen Isomorphismus definiert als eine Abbildung, die linear, injektiv und surjektiv ist. Darum wollte ich auch zeigen, dass $f$ injektiv ist. Linear ist ja gegeben und die Surjektivität würde folgen, wenn ich weiß, dass $f$ injektiv ist.
> >
> > v) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> > Hier habe ich eine Idee, ich weiß nur nicht recht, wie
> > man das formalisieren muss.
> >
> > Wenn wir annehmen, dass [mm]f[/mm] surjektiv ist, bedeutet das, dass
> > [mm]Im(f)=V[/mm] ist. Es gilt also für alle [mm]v' \in V[/mm] (Bildmenge)
> > und für [mm]v \in V[/mm] (Anfangsmenge), dass [mm]f(v)=v'[/mm]. Jeder Vektor
> > in der Bildmenge hat also (mindestens) einen Vektor in der
> > Anfangsmenge. Es gibt also auch eine Funktion, die jeden
> > Vektor der Bildmenge von [mm]f[/mm] zurück abbildet auf die
> > ursprünglichen Vektoren.
>
> Ich würde überlegen: Im schlimmsten Fall ist [mm]f[/mm] nicht
> injektiv. Dann existieren aber....
> Kannst du das zum Widerspruch führen? Dann bist du da.
>
Entschuldigung, aber das verstehe ich nicht ganz. Ich versuche zu beweisen, dass $f$ invertierbar ist, wenn $f$ surjektiv ist. Was hat das dann mit der Injektivität zu tun?^^ Vielleicht übersehe ich was, aber das verwirrt mich ein bisschen.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Sa 22.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > > ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii)
> > > Um zu zeigen, dass [mm]f[/mm] injektiv ist, muss gelten, dass
> > > [mm]ker(f)=\{0\}[/mm]. Das heißt, wir müssen zeigen, dass [mm]f(v)=0[/mm]
> > > mit [mm]v=0[/mm], also [mm]f(0)=0[/mm].
> >
> > Genauer: [mm]f(v)=0 \gdw v=0[/mm]
> >
> > Wie habt ihr Isomorphismus denn definiert? Vielleicht ist
> > hier gar nichts zu zeigen.
>
> Wir haben einen Isomorphismus definiert als eine Abbildung,
> die linear, injektiv und surjektiv ist. Darum wollte ich
> auch zeigen, dass [mm]f[/mm] injektiv ist. Linear ist ja gegeben und
> die Surjektivität würde folgen, wenn ich weiß, dass [mm]f[/mm]
> injektiv ist.
>
> > >
> > > v) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> > > Hier habe ich eine Idee, ich weiß nur nicht recht,
> wie
> > > man das formalisieren muss.
> > >
> > > Wenn wir annehmen, dass [mm]f[/mm] surjektiv ist, bedeutet das, dass
> > > [mm]Im(f)=V[/mm] ist. Es gilt also für alle [mm]v' \in V[/mm] (Bildmenge)
> > > und für [mm]v \in V[/mm] (Anfangsmenge), dass [mm]f(v)=v'[/mm]. Jeder Vektor
> > > in der Bildmenge hat also (mindestens) einen Vektor in der
> > > Anfangsmenge. Es gibt also auch eine Funktion, die jeden
> > > Vektor der Bildmenge von [mm]f[/mm] zurück abbildet auf die
> > > ursprünglichen Vektoren.
> >
> > Ich würde überlegen: Im schlimmsten Fall ist [mm]f[/mm] nicht
> > injektiv. Dann existieren aber....
> > Kannst du das zum Widerspruch führen? Dann bist du da.
> >
>
> Entschuldigung, aber das verstehe ich nicht ganz. Ich
> versuche zu beweisen, dass [mm]f[/mm] invertierbar ist, wenn [mm]f[/mm]
> surjektiv ist.
Wenn f invertierbar ist, so ist f injektiv. Mit dem Rangsatz folgt die Surjektivität.
FRED
> Was hat das dann mit der Injektivität zu
> tun?^^ Vielleicht übersehe ich was, aber das verwirrt mich
> ein bisschen.
>
> Liebe Grüße.
>
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> > Hallo,
> >
> > > > ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii)
> > > > Um zu zeigen, dass [mm]f[/mm] injektiv ist, muss gelten,
> dass
> > > > [mm]ker(f)=\{0\}[/mm]. Das heißt, wir müssen zeigen, dass [mm]f(v)=0[/mm]
> > > > mit [mm]v=0[/mm], also [mm]f(0)=0[/mm].
> > >
> > > Genauer: [mm]f(v)=0 \gdw v=0[/mm]
> > >
> > > Wie habt ihr Isomorphismus denn definiert? Vielleicht ist
> > > hier gar nichts zu zeigen.
> >
Wir haben einen Isomorphismus definiert als eine Abbildung,
die linear, injektiv und surjektiv ist. Darum wollte ich
auch zeigen, dass [mm]f[/mm] injektiv ist. Linear ist ja gegeben und
die Surjektivität würde folgen, wenn ich weiß, dass [mm]f[/mm]
injektiv ist.
> >
> > > >
> > > > v) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> > > > Hier habe ich eine Idee, ich weiß nur nicht
> recht,
> > wie
> > > > man das formalisieren muss.
> > > >
> > > > Wenn wir annehmen, dass [mm]f[/mm] surjektiv ist, bedeutet das, dass
> > > > [mm]Im(f)=V[/mm] ist. Es gilt also für alle [mm]v' \in V[/mm] (Bildmenge)
> > > > und für [mm]v \in V[/mm] (Anfangsmenge), dass [mm]f(v)=v'[/mm]. Jeder Vektor
> > > > in der Bildmenge hat also (mindestens) einen Vektor in der
> > > > Anfangsmenge. Es gibt also auch eine Funktion, die jeden
> > > > Vektor der Bildmenge von [mm]f[/mm] zurück abbildet auf die
> > > > ursprünglichen Vektoren.
> > >
> > > Ich würde überlegen: Im schlimmsten Fall ist [mm]f[/mm] nicht
> > > injektiv. Dann existieren aber....
> > > Kannst du das zum Widerspruch führen? Dann bist du da.
> > >
> >
> > Entschuldigung, aber das verstehe ich nicht ganz. Ich
> > versuche zu beweisen, dass [mm]f[/mm] invertierbar ist, wenn [mm]f[/mm]
> > surjektiv ist.
>
> Wenn f invertierbar ist, so ist f injektiv. Mit dem
> Rangsatz folgt die Surjektivität.
>
>
> FRED
>
Ja, aber das habe ich schon bewiesen. Im letzten Schritt nehme ich die Surjektivität an (muss sie also nicht mehr beweisen) und will daraus ableiten, dass die Abbildung invertierbar ist. Dass $f$ surjektiv ist, ist also bei diesem Schritt von vornherein klar. Und meine Frage bezieht sich jetzt darauf, warum ich schauen muss, ob $f$ injektiv ist, wenn ich doch die Surkektivität schon kenne und die Invertierbarkeit daraus ableiten muss.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Mo 24.11.2014 | | Autor: | MacMath |
> > > Hallo,
> > >
> > > > > ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii)
> > > > > Um zu zeigen, dass [mm]f[/mm] injektiv ist, muss
> gelten,
> > dass
> > > > > [mm]ker(f)=\{0\}[/mm]. Das heißt, wir müssen zeigen, dass [mm]f(v)=0[/mm]
> > > > > mit [mm]v=0[/mm], also [mm]f(0)=0[/mm].
> > > >
> > > > Genauer: [mm]f(v)=0 \gdw v=0[/mm]
> > > >
> > > > Wie habt ihr Isomorphismus denn definiert? Vielleicht ist
> > > > hier gar nichts zu zeigen.
> > >
>
> Wir haben einen Isomorphismus definiert als eine Abbildung,
> die linear, injektiv und surjektiv ist. Darum wollte ich
> auch zeigen, dass [mm]f[/mm] injektiv ist. Linear ist ja gegeben und
> die Surjektivität würde folgen, wenn ich weiß, dass [mm]f[/mm]
> injektiv ist.
Dir ist klar, dass eine Abbildung genau dann invertierbar ist, wenn sie bijektiv ist?
> > >
> > > > >
> > > > > v) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> > > > > Hier habe ich eine Idee, ich weiß nur nicht
> > recht,
> > > wie
> > > > > man das formalisieren muss.
> > > > >
> > > > > Wenn wir annehmen, dass [mm]f[/mm] surjektiv ist, bedeutet das, dass
> > > > > [mm]Im(f)=V[/mm] ist. Es gilt also für alle [mm]v' \in V[/mm] (Bildmenge)
> > > > > und für [mm]v \in V[/mm] (Anfangsmenge), dass [mm]f(v)=v'[/mm]. Jeder Vektor
> > > > > in der Bildmenge hat also (mindestens) einen Vektor in der
> > > > > Anfangsmenge. Es gibt also auch eine Funktion, die jeden
> > > > > Vektor der Bildmenge von [mm]f[/mm] zurück abbildet auf die
> > > > > ursprünglichen Vektoren.
> > > >
> > > > Ich würde überlegen: Im schlimmsten Fall ist [mm]f[/mm] nicht
> > > > injektiv. Dann existieren aber....
> > > > Kannst du das zum Widerspruch führen? Dann bist du da.
> > > >
> > >
> > > Entschuldigung, aber das verstehe ich nicht ganz. Ich
> > > versuche zu beweisen, dass [mm]f[/mm] invertierbar ist, wenn [mm]f[/mm]
> > > surjektiv ist.
> >
> > Wenn f invertierbar ist, so ist f injektiv. Mit dem
> > Rangsatz folgt die Surjektivität.
> >
> >
> > FRED
> >
>
> Ja, aber das habe ich schon bewiesen. Im letzten Schritt
> nehme ich die Surjektivität an (muss sie also nicht mehr
> beweisen) und will daraus ableiten, dass die Abbildung
> invertierbar ist. Dass [mm]f[/mm] surjektiv ist, ist also bei diesem
> Schritt von vornherein klar. Und meine Frage bezieht sich
> jetzt darauf, warum ich schauen muss, ob [mm]f[/mm] injektiv ist,
> wenn ich doch die Surkektivität schon kenne und die
> Invertierbarkeit daraus ableiten muss.
Siehe oben. Invertierbar=bijektiv=surjektiv+injektiv
> Liebe Grüße.
>
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Hi,
> >
> > Wir haben einen Isomorphismus definiert als eine Abbildung,
> > die linear, injektiv und surjektiv ist. Darum wollte ich
> > auch zeigen, dass [mm]f[/mm] injektiv ist. Linear ist ja gegeben und
> > die Surjektivität würde folgen, wenn ich weiß, dass [mm]f[/mm]
> > injektiv ist.
>
> Dir ist klar, dass eine Abbildung genau dann invertierbar
> ist, wenn sie bijektiv ist?
Ja, mittlerweile schon. Nur genau hierum geht es ja bei dieser Aufgabe^^ Wir müssen beweisen, dass es so ist. Darum versuche ich ja zu zeigen, dass aus der Invertierbarkeit folgt, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist. Und die Frage ist jetzt, ob ich das richtig gemacht habe.
>
> > > >
> > > > > >
> > > > > > v) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> > > > > > Hier habe ich eine Idee, ich weiß nur
> nicht
> > > recht,
> > > > wie
> > > > > > man das formalisieren muss.
> > > > > >
> > > > > > Wenn wir annehmen, dass [mm]f[/mm] surjektiv ist, bedeutet das, dass
> > > > > > [mm]Im(f)=V[/mm] ist. Es gilt also für alle [mm]v' \in V[/mm] (Bildmenge)
> > > > > > und für [mm]v \in V[/mm] (Anfangsmenge), dass [mm]f(v)=v'[/mm]. Jeder Vektor
> > > > > > in der Bildmenge hat also (mindestens) einen Vektor in der
> > > > > > Anfangsmenge. Es gibt also auch eine Funktion, die jeden
> > > > > > Vektor der Bildmenge von [mm]f[/mm] zurück abbildet auf die
> > > > > > ursprünglichen Vektoren.
> > > > >
> > > > > Ich würde überlegen: Im schlimmsten Fall ist [mm]f[/mm] nicht
> > > > > injektiv. Dann existieren aber....
> > > > > Kannst du das zum Widerspruch führen? Dann bist du da.
> > > > >
> > > >
> > > > Entschuldigung, aber das verstehe ich nicht ganz. Ich
> > > > versuche zu beweisen, dass [mm]f[/mm] invertierbar ist, wenn [mm]f[/mm]
> > > > surjektiv ist.
> > >
> > > Wenn f invertierbar ist, so ist f injektiv. Mit dem
> > > Rangsatz folgt die Surjektivität.
> > >
> > >
> > > FRED
> > >
> >
> > Ja, aber das habe ich schon bewiesen. Im letzten Schritt
> > nehme ich die Surjektivität an (muss sie also nicht mehr
> > beweisen) und will daraus ableiten, dass die Abbildung
> > invertierbar ist. Dass [mm]f[/mm] surjektiv ist, ist also bei diesem
> > Schritt von vornherein klar. Und meine Frage bezieht sich
> > jetzt darauf, warum ich schauen muss, ob [mm]f[/mm] injektiv ist,
> > wenn ich doch die Surkektivität schon kenne und die
> > Invertierbarkeit daraus ableiten muss.
>
> Siehe oben. Invertierbar=bijektiv=surjektiv+injektiv
Aber wenn ich jetzt nur die Linearität und Surjektivität von $f$ annehme, dann muss ich ja die Invertierbarkeit daraus ableiten können.
Liebe Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 26.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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