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| Aufgabe | | Wie viele Elemente hat [mm] GL(2,\IF_{4})? [/mm] |
Hallo Freunde, bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie nicht zurecht. Das Ergebnis habe ich, es ist 180. aber ich weiß nicht, wie man drauf kommt. Ein Freund hat mir sowas hier gegeben, aber das versteh ich nicht so wirklich.
Sei A=(a,b) eine Basis, [mm] IF^2_{4} [/mm] = 16 (1. Frage, wie kommt man auf 16 nochmal?)
Möglichkeiten für [mm] b_1=16-1=15
[/mm]
Möglichkeiten für [mm] b_2=16-4=12
[/mm]
15*12=180
Ich versteh die Lösung irgendwie nicht, wäre nett, wenn mir jemand das erklären könnte.
Gruß
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> Wie viele Elemente hat [mm]GL(2,\IF_{4})?[/mm]
> Hallo Freunde, bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie
> nicht zurecht. Das Ergebnis habe ich, es ist 180. aber ich
> weiß nicht, wie man drauf kommt. Ein Freund hat mir sowas
> hier gegeben, aber das versteh ich nicht so wirklich.
>
> Sei A=(a,b) eine Basis, [mm]IF^2_{4}[/mm] = 16 (1. Frage, wie kommt
> man auf 16 nochmal?)
>
> Möglichkeiten für [mm]b_1=16-1=15[/mm]
>
> Möglichkeiten für [mm]b_2=16-4=12[/mm]
>
> 15*12=180
>
> Ich versteh die Lösung irgendwie nicht, wäre nett, wenn mir
> jemand das erklären könnte.
Hallo,
die Idee bei der Lösung Deines Freundes ist folgende:
Gesucht sind alle invertierbaren 2x2-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IF_4.
[/mm]
Die invertierbaren Matrizen sind genau die, deren Spalten linear unabhängig sind.
Also lautet die fragestellung nun: wieviele linear unabhängige Familien mit zwei Elementen findet man in [mm] \IF_4^2. [/mm] Oder anders: wieviele Basen?
Also ersten Vektor solch einer Menge kann man mit Ausnahme des Nullvektors jeden Vektor des [mm] \IF_4^2 [/mm] nehmen.
Ergänzen kann man ihn durch sämtliche Vektoren, die v. ihm nicht linear abhängig sind.
Gruß v. Angela
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Also ich müsste dann jetzt nochmal paar Verständnisfragen stellen. und zwar.
Was der [mm] IF_{4} [/mm] Körper ist, ist mir Klar. Aber wozu steht dieses [mm] IF_4^2. [/mm] Also warum dieses Quadrat?
und dann nochmal was. Also ein [mm] IF_{4} [/mm] Körper hat 16 Elemente, und dann sagst du, den Nullvektor nehme man heraus, so bleiben nur noch 15 Möglichkeiten übrig, richtig?
und funktioniert das mit dem zweiten teil?
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Was der [mm]IF_{4}[/mm] Körper ist, ist mir Klar. Aber wozu steht
> dieses [mm]IF_4^2.[/mm] Also warum dieses Quadrat?
wenn $K$ ein körper ist, dann ist [mm] $K^n$ [/mm] - in diesem fall [mm] $K^2$ [/mm] - auf natürliche weise ein $K$-vektorraum.
> und dann nochmal was. Also ein [mm]IF_{4}[/mm] Körper hat 16
> Elemente,
dir scheint doch nicht ganz klar zu sein, was [mm] $\mathbb{F}_4$ [/mm] ist - dieser körper hat nämlich nur $4$ elemente. allerdings hat [mm] $\mathbb{F}_4^2$ [/mm] dann $16$ elemente, da du für jeden der beiden einträge im spaltenvektor $4$ möglichkeiten hast, also [mm] $4^2 [/mm] = 16$.
> und dann sagst du, den Nullvektor nehme man
> heraus, so bleiben nur noch 15 Möglichkeiten übrig,
> richtig?
ja, das stimmt dann wieder.
> und funktioniert das mit dem zweiten teil?
wenn du einen vom nullvektor verschiedenen vektor in [mm] $\mathbb{F}_4^2$ [/mm] gegeben hast, wieviele vektoren gibt es dann, die von diesem linear abhängig sind?
grüße
andreas
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nur was mich jetzt gerade bisschen wundert. ein körper muss ja bezüglich addition und multiplikaton gelten.
so meine [mm] F_4 [/mm] körper sieht bei uns so aus.
+ 0 1 a b * 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0
1 1 0 b a 1 0 1 a b
a a b 0 1 a 0 a b 1
b b a 1 0 b 0 b 1 a
so, so sieht bei uns [mm] F_4 [/mm] aus. So ich will die Aufgabe gerne ganz verstehen. Wieso betracht man denn nur die Multiplikation und auch nicht die Addition? denn bei der Addition hätten wir ja keinen Null-Spaltenvektor.
kannst du mir vielleicht die Auf. jetzt nochmal anhand der Tabelle erklären, wäre echt nett.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> so, so sieht bei uns [mm]F_4[/mm] aus. So ich will die Aufgabe gerne
> ganz verstehen. Wieso betracht man denn nur die
> Multiplikation und auch nicht die Addition? denn bei der
> Addition hätten wir ja keinen Null-Spaltenvektor.
die verknüpfungstafeln haben mit der aufgabe erstmal nicht allzuviel zu tuen.
du betrachtest doch matrizen der form [m] \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) [/m] mit [mm] $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbb{F}_4$.
[/mm]
nun ist diese matrix genau dann invertierbar, wie angela schon geschrieben hat, wenn die beiden spaltenvektoren [mm] $\left( \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right)$ [/mm] und [mm] $\left( \begin{array}{c} a_{12} & a_{22} \end{array} \right)$ [/mm] lienar unabhängig sind. ist dir das klar?
nun betrachtet man zuerst den ersten spaltenvektor [mm] $\left( \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right)$. [/mm] da kann man noch nicht soviel falsch machen, solange man nicht den nullvektor wählt. also: wieveiel socher spaltenvektoren mit zwie zeilen gibt es, die nicht der nullvektor sind (beachte, dass die einträge aus [mm] $\mathbb{F}_4 [/mm] = [mm] \{0, 1, a, b \}$ [/mm] sind)?
und dann muss man sich eben etwas für den zweiten vektor überlegen, aber beantworte erstmal meine fragen.
grüße
andreas
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heute ist irgendwie voll nicht mein tag, denn so gut versteh ich es noch nicht, auch wenn es bestimmt ziemlich simple ist.
also das erste ist mir klar, das bei invertierbaren matrizen die spaltenvek. linear unab. sein müssen.
d.h. bis hier her versteh ich es noch:
du betrachtest doch matrizen der form $ [mm] \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) [/mm] $ mit $ [mm] a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbb{F}_4 [/mm] $.
nun ist diese matrix genau dann invertierbar, wie angela schon geschrieben hat, wenn die beiden spaltenvektoren $ [mm] \left( \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right) [/mm] $ und $ [mm] \left( \begin{array}{c} a_{12} & a_{22} \end{array} \right) [/mm] $ lienar unabhängig sind.
dann folgt ja:
nun betrachtet man zuerst den ersten spaltenvektor $ [mm] \left( \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right) [/mm] $. da kann man noch nicht soviel falsch machen, solange man nicht den nullvektor wählt. also: wieveiel socher spaltenvektoren mit zwie zeilen gibt es, die nicht der nullvektor sind (beachte, dass die einträge aus $ [mm] \mathbb{F}_4 [/mm] = [mm] \{0, 1, a, b \} [/mm] $ sind)?
auch wenn man da jetzt nicht so viel falsch machen kann, so richtig verstehen tu ich diesen abschnitt noch nicht, sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
also man möchte doch zwei linear unabhängige spaltenvektoren. dafür wählt man zuerst den ersten spaltenvektor. wleche vektoren kann man hier wählen, damit man (durch geeignete wahl der zweiten spalte) zwei linear unabhängige vektoren erhalten kann? alle außer dem nullvektor. nun muss man sich eben überlegen, wieveile verschiedene vektoren man in die erste spalte schreiben darf, also wieviele vektoren gibt es in [mm] $\mathbb{F}_4^2$ [/mm] außer dem nullvektor?
grüße
andreas
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Ok, [mm] F_4 [/mm] hat ja normal nur 4 Elemente, jedoch hat [mm] \mathbb{F}_4^2 [/mm] =16 Elemente. Wenn ich jetzt die 0 raus nehme, weil die Elemente ja aus 0,1,a,b bestehen bleiben nur noch 15 übrig.
nur ich wusste nicht, dass man diese Elemente auch als Vektoren ansehen kann. da ja [mm] F_4 [/mm] aus Elementen besteht und nicht aus Vek., da habe ich wohl was falsch gedacht.
Mit der bildlichen Vorstellung habe ich es in AGLA sowieso noch nicht so.
habe ich das jetzt richtig verstanden, dass man jedes Element aus [mm] {F}_4^2 [/mm] als einen Spaltenvek. betrachten kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mi 26.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ok, [mm]F_4[/mm] hat ja normal nur 4 Elemente, jedoch hat
> [mm]\mathbb{F}_4^2[/mm] =16 Elemente. Wenn ich jetzt die 0 raus
> nehme, weil die Elemente ja aus 0,1,a,b bestehen bleiben
> nur noch 15 übrig.
ok.
> nur ich wusste nicht, dass man diese Elemente auch als
> Vektoren ansehen kann. da ja [mm]F_4[/mm] aus Elementen besteht und
> nicht aus Vek., da habe ich wohl was falsch gedacht.
naja [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] besteht ja auch erstmal aus "elementen". aber zum beispiel besteht [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] aus "vektoren". das ist bei einem anderen körper auch nicht anders, also auch hier besteht - wenn du [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] durch [mm] $\mathbb{F}_4$ [/mm] ersetzt - [mm] $\mathbb{F}_4^2$ [/mm] aus (spalten-)vektoren.
> habe ich das jetzt richtig verstanden, dass man jedes
> Element aus [mm]{F}_4^2[/mm] als einen Spaltenvek. betrachten kann?
die elemente aus [mm] $\mathbb{F}_4^2$ [/mm] sind sogar per definition gerade die spaltenvektoren mit zwei einträgen aus [mm] $\mathbb{F}_4$. [/mm] schau mal in deinem skript nach.
grüße
andreas
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also def. haben wir dazu in unserem skript nicht, da habe ich nichts gefunden.
so, die zahl 15, hätten wir ja dann also erklärt. die kommt zu stande, indem man einfach die 0 aus den 16 vektoren herausnimmt, da ja die 0 immer linear abhängig zu Vektoren ist.
so bei der zweiten zahl hat man wahrscheinlich jetzt von der 16 nochmal alle elemente aus [mm] \mathbb{F}_4^2 [/mm] abgezogen, d.h. 16 -0-1-a-b = 12.
aber wieso? wir suchen ja spaltenvektoren, die linear unabhänig sind, das ist mir jetzt langsam klar. und bei der ersten zahl hatten wir ja die 0 von 16 abgezogen, das ist mir auch noch klar, weil ja die 0 immer linear abhängig ist, aber warum macht man jetzt überhaupt noch eine zweite rechnung und wieso muss man da nochmal die ganzen elemente abziehen, kannste mir das bitten nochmal erklären, wäre echt nett.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Do 27.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> so, die zahl 15, hätten wir ja dann also erklärt. die kommt
> zu stande, indem man einfach die 0 aus den 16 vektoren
> herausnimmt, da ja die 0 immer linear abhängig zu Vektoren
> ist.
wenn du mit "null" den "nullvektor", meinst, ist das vollkommen richtig.
> so bei der zweiten zahl hat man wahrscheinlich jetzt von
> der 16 nochmal alle elemente aus [mm]\mathbb{F}_4^2[/mm] abgezogen,
> d.h. 16 -0-1-a-b = 12.
naja, so kann man das nicht schreiben. die elemente "0, 1, a, b" sind ja aus dem körper [mm] $\mathbb{F}_4$, [/mm] also kann man die von der ganzen zahl $16$ nicht so einfach abziehen. aber das genau vier abgezogen wird hängt schon mit diesen elementen zusammen, das ist richtig.
wenn du in [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] einen vom nullvektor verschiedenen vektor gegeben hast, wo liegen dann alle von ihm linear abhängigen vektoren? das ist bei solch einem körper auch nicht anders, nur das hier die geometrischen objekte "kleiner" sind, nämlich dieses geometrische objekt zum beispiel nur aus $4$ punkten besteht. und da man dann gerade diese vier vektoren nicht wählen darf - sonst wären die beiden vektoren linear abhängig - hat man für den zweiten vektor nur noch $16 - 4 = 12$ wahlmöglichkeiten.
grüße
andreas
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Ich glaube nicht, dass 180 die richtige Lösung ist.
Wenn du alle Spaltenvektoren [mm] \not= [/mm] 0 aufschreibst, erhältst du:
[mm] \vektor{0 \\ 1},\vektor{0 \\ a},\vektor{0 \\ b},\vektor{1 \\ 0},\vektor{1 \\ 1},\vektor{1 \\ a},\vektor{1 \\ b},\vektor{a \\ 0},\vektor{a \\ 1},\vektor{a \\ a},\vektor{a \\ b},\vektor{b \\ 0},\vektor{b \\ 1},\vektor{b \\ a},\vektor{b \\ b}.
[/mm]
Willst du nun jeweils einen linear unabhängigen hinzufügen, siehst du sofort:
[mm] \vektor{0 \\ 1},\vektor{0 \\ a},\vektor{0 \\ b} [/mm] sind untereinander linear abhängig und von jedem der anderen linear unabhängig. Nimmst du also einen von diesen als 1. Spalte, so hast du zu jedem noch 12 Möglichkeiten für die 2. Spalte.
Ebenso bilden die Vektoren
[mm] \vektor{1 \\ 0},\vektor{a \\ 0},\vektor{b \\ 0} [/mm] eine solche "Familie" mit jweils 12 Möglichkeiten für die 2. Spalte.
Dasselbe ergibt sich für
[mm] \vektor{1 \\ 1},\vektor{a \\ a},\vektor{b \\ b}
[/mm]
mit jweils 12 Möglichkeiten für die 2. Spalte.
Aber: Zu [mm] \vektor{1 \\ a} [/mm] sind alle anderen außer [mm] \vektor{1 \\ a} [/mm] linear unabhängig, also 14 weitere Vektoren, und genau so verhält es sich mit
[mm] \vektor{1 \\ b},\vektor{a \\ 1},\vektor{a \\ b},\vektor{b \\ 1},\vektor{b \\ a}.
[/mm]
Man erhält somit 9*12+6*14 Elemente.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:11 Do 27.12.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> Aber: Zu [mm]\vektor{1 \\ a}[/mm] sind alle anderen außer [mm]\vektor{1 \\ a}[/mm]
> linear unabhängig, also 14 weitere Vektoren, und genau so
> verhält es sich mit
>
> [mm]\vektor{1 \\ b},\vektor{a \\ 1},\vektor{a \\ b},\vektor{b \\ 1},\vektor{b \\ a}.[/mm]
Hallo,
das ist nicht richtig.
Zu [mm] \IF_4 [/mm] gehören die Verknüpfungstafeln
[mm] \pmat{ + & \underline{0}&\underline{1}&\underline{a}&\underline{b} \\ 0| & 0&1&a&b\\ 1| & 1&0&b&a\\ a| & a&b&0&1\\b| & b&a&1&0 }
[/mm]
und
[mm] \pmat{\* &\underline{1}&\underline{a}&\underline{b} \\ 1| & 1&a&b\\ a| & a&b&1\\b| & b&1&a }
[/mm]
Somit sind z.B.
[mm] \vektor{1 \\ a} [/mm] und [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] linear abhängig, denn es ist
[mm] a*\vektor{1 \\ a} +1*\vektor{a \\ b}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Gruß v. Angela
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