Invertierbare Matrix < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mo 08.06.2009 | | Autor: | anna99 |
| Aufgabe | Seien A,B beide n×n-Matrizen. Man zeige, dass A·B genau dann invertierbar ist, wenn
sowohl A als auch B invertierbar ist. |
Ich weiss, dass man diese Aufgabe mit Determinanten und dem rang einer Matrix lösen kann, diese Themen hatten wir aber noch nicht, wie kann man diese Aufagbe sonst lösen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
Magst du das nochmal überdenken? Das Posten derselben Frage in einem anderen Forum, ohne dass du uns darauf hinweist, wäre nämlich ein Verstoß gegen unsere Forenregeln.
Außerdem wäre es ein erster Schritt Richtung Verstehen der Materie, dass du deine Fragen nicht in unsere Schulforen einordnest, sondern in den Uni-Bereich.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mo 08.06.2009 | | Autor: | cluedo |
Hi,
man nennt eine quadratische Matrix $A$ invertierbar wenn zu $A$ eine quadratische Matrix [mm] $A^{-1}$ [/mm] existiert, sodass gilt [mm] $A\cdot A^{-1}=E$, [/mm] wobei $E$ die Einheitsmatrix ist. Nach deiner Voraussetzung gilt also [mm] $A\cdot A^{-1}=E$ [/mm] und [mm] $B\cdot B^{-1}=E$ [/mm] du sollst nun zeigen, dass [mm] $(AB)\cdot (AB)^{-1}=E$ [/mm] daraus folgt. Dazu benötigen wir die Regel, dass [mm] $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ [/mm] gilt. fangen wir also mit dem zu zeigenden an
[mm] $(AB)\cdot (AB)^{-1}=E \Leftrightarrow ABB^{-1}A^{-1}$ [/mm] wegen deiner zweiten Voraussetung ist dass [mm] $AEA^{-1}=E$, [/mm] dass wiederum ist äquivalent zu [mm] $AA^{-1}=E$ [/mm] und nach deiner ersten Voraussetzung steht dort schließlich noch $E=E$ was offenbar stimmt.
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Seien A,B beide n×n-Matrizen. Man zeige, dass A·B genau
> dann invertierbar ist, wenn
> sowohl A als auch B invertierbar ist.
> Ich weiss, dass man diese Aufgabe mit Determinanten und
> dem rang einer Matrix lösen kann, diese Themen hatten wir
> aber noch nicht, wie kann man diese Aufagbe sonst lösen?
Interessant für einen Antwortgeber wäre auch gewesen, wie ihr die Invertierbarkeit von Matrizen definiert habt bzw. welche Definition ihr verwenden dürft. Ich habe schon lineare Algebra Vorlesungen gesehen, da wurde es ganz anders gemacht als in der Standardliteratur, z.B. bei einem Prof. Völklein aus Essen. Bei dem muss übrigens diese Aufgabe morgen nach vierzehntägiger Bearbeitungszeit abgegeben werden (wie deine anderen Aufgaben übrigens auch -- sag' jetzt bitte nicht, dass du diese Vorlesung besuchst und dich erst in den letzten 2% der dir zur Verfügung stehenden Bearbeitungszeit damit befasst und deswegen diese Aufgaben ohne jedwede Eigenleistung hier und in andere Foren stellst, um die Lösungen abzustauben?)
Viele Grüße,
Marc
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