Invertierbarkeit einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 10:17 Do 12.01.2006 | | Autor: | cheesus |
Ok, wir verzweifeln gerade an folgender Aufgabe:
Gegeben ist eine Matrix [mm] A^{n,n}, [/mm] mit n = 5, 7, 10.
[mm] \alpha_{i,j} [/mm] = [mm] (x+j)^{i}+x^{j}.
[/mm]
Man soll zeigen das es mindestens n ganzzahlige Werte für x gibt, sodass die Matrix nicht invertierbar ist.
Ok. Unsere Fortschritte:
Eine Matrix ist immer dann nicht invertierbar wenn sie nicht quadratisch ist... offensichtlich nicht der Fall
Und dann auch nicht wenn das mit den RÄngen nicht hinhaut , auch nicht der Fall (glaube ich).
Und eine Matrix ist nicht invertierbar wenn die Determinante = 0 ist.
Die Determinatne der Matrix = [mm] 12*x^{13}+144*x^{12}+480*x^{11}-432*x^{10}-4488*x^{9}-1152*x^{8}+20112*x^{7}+9360*x^{6}-58116*x^{5}-33552*x^{4}+118608*x^{3}+181152*x^{2}+113472*x+34560
[/mm]
wenn man das faktorisiert kommt das raus:
[mm] =12*(x+4)*(x+3)*(x+2)*(x+1)*(x^{9}+2*x^{8}-15*x^{7}-6*x^{6}+87*x^{5}-54*x^{4}-169*x^{3}+154*x^{2}+144*x+120)
[/mm]
Und da kommen nunmal nur 4 ganzzahlige nullstellen raus...
Meine Frage letztenendes, woher bekomm ich die 5. Nullstelle?
Kann man das restpolynom noch weiter faktorisieren?
Vielen dank schonmal im Vorraus...
MfG
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Hallo cheesus!
Ich habe als weitere (ganzzahlige) Nullstelle des Polynoms mit [mm] $x^9$ [/mm] erhalten: [mm] $x_5 [/mm] \ = \ -4$ . Es liegt bei $-4_$ also eine doppelte Nullstelle des Gesamtpolynoms vor.
In der Normalform (vor der höchsten Potenz steht eine $1_$) sind die ganzzahligen Nullstellen Teiler des Absolutgliedes (hier: $+120_$), und zwar beiderlei Vorzeichens.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mo 16.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo cheesus!
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Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
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