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Invertierung algebr. Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:56 So 19/04/2015
Author: Gnocchi

Aufgabe
Sei K= [mm] \IQ, a=\wurzel[3]{2} [/mm] und E= K[a]. Das Element a ist algebraisch über K und daher ist E ein Körper. Die Erweiterung E/K hat den Grad 3 und eine K-Basis ist [mm] 1,a,a^{2} [/mm]

Geben sie [mm] (1+a)^{-1} [/mm] als K-Linearkombinationder Basis [mm] 1,a,a^{2} [/mm] an.

Also wir wissen nach Voraussetzung, dass E/K den Grad 3 hat.
Mit unserem a erhalten wir dann das Minimalpolynom f = [mm] t^{3}-2 [/mm]
Dieses ist irreduzibel nach Eisenstein.
So, nun zur eigentlichen Aufgabe.
Ich hatte bisher folgende Idee:
Wir wissen ja, dass gilt [mm] a^3-2=0, [/mm] weil a eine Nullstelle von f ist.
[mm] a^3-2 [/mm] = 0
[mm] \gdw a^3=2 [/mm]
[mm] \gdw \bruch{a^{3}}{2}=1 [/mm]
[mm] \gdw \bruch{a^{3}}{2} [/mm] * [mm] (1+a)^{-1} [/mm] = [mm] (1+a)^{-1} [/mm]

Nun fehlt mir die Umformung wie ich das in die Form bringe, dass ich das nur mit [mm] a^{2},a [/mm] und 1 stehen habe um die Darstellung bzgl der K-Basis zu erhalten.

        
Bezug
Invertierung algebr. Zahlen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:13 So 19/04/2015
Author: hippias

Da Du wissen moechtest, wie das Inverse von [mm] $1+\alpha$ [/mm] in $E$ aussieht, nimm ein beliebiges [mm] $x+y\alpha+ z\alpha^{2}\in [/mm] E$, dargestellt in der gegebenen Basis [mm] $1,\alpha,\alpha^{2}$, [/mm] und mache den Ansatz [mm] $(1+\alpha)(x+y\alpha+ z\alpha^{2})=1$. [/mm] Nun vereinfache die linke Seite und fuehre einen Koeffizientenvergleich durch.

Bezug
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