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| Aufgabe | | Geben Sie für eine endliche Ebene mit 9 Punkten, für die die Inzidenzaxiome und das Parallelenaxiom erfüllt sind, die Menge der Geraden an. |
Hallo Mathefreunde,
ich wollte wissen, ob meine Lösung [mm]{9 \choose 2}[/mm] richtig ist.
Schönen Gruß
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Di 31.01.2012 | | Autor: | statler |
Hallo Christoph!
> Geben Sie für eine endliche Ebene mit 9 Punkten, für die
> die Inzidenzaxiome und das Parallelenaxiom erfüllt sind,
> die Menge der Geraden an.
> Hallo Mathefreunde,
>
> ich wollte wissen, ob meine Lösung [mm]{9 \choose 2}[/mm] richtig
> ist.
Nee, isse nich! Hast du mal versucht, dir ein Bild von dieser Ebene zu machen? Oder kennst du irgendwelche Sätze über die Anzahlen von Punkten und Geraden?
Bei deiner Rechnung gibt es 8 Geraden durch den Punkt 1, u. a. die Gerade [mm] \{1, 2\}. [/mm] Welche Geraden durch 3 sind zu dieser parallel? Es darf nur eine geben!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
vielen Dank für deine Hilfe.
Ja ich habe mir diese Ebene verbildlicht. Ich habe die 9 Punkte wie bei einer Telefontastatur angeordnet (quasi ein Quadrat). Dann habe ich alle Punkte verbunden und kam auf 12 Geraden doch dieses Ergebnis war unvollständig. Warum ist mir nicht ganz klar. Dann bin ich auf diesen kombinatorischen Schritt gekommen, da nach den Inzidenzaxiomen eine Gerade durch 2 Punkte gegeben ist. Damit habe ich versucht eine allgemeine Zählweise zu bestimmen.
Hast du noch weitere Ideen?
Das wäre echt nett.
Schönen Gruß
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Mi 01.02.2012 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ja ich habe mir diese Ebene verbildlicht. Ich habe die 9
> Punkte wie bei einer Telefontastatur angeordnet (quasi ein
> Quadrat). Dann habe ich alle Punkte verbunden und kam auf
> 12 Geraden doch dieses Ergebnis war unvollständig. Warum
> ist mir nicht ganz klar.
Mir auch nicht! Was meinst du mit 'alle Punkte verbunden'? Versuch doch mal, dein Bild in eine Beschreibung durch Mengen umzusetzen, also die Geraden als Mengen ihrer Punkte anzugeben. Dann müßtest du ja 12 Mengen kriegen. Und dann prüf deine Axiome systematisch durch.
> Dann bin ich auf diesen
> kombinatorischen Schritt gekommen, da nach den
> Inzidenzaxiomen eine Gerade durch 2 Punkte gegeben ist.
> Damit habe ich versucht eine allgemeine Zählweise zu
> bestimmen.
>
> Hast du noch weitere Ideen?
Ja, aber mach erstmal, was ich oben vorgeschlagen habe, dann sehen wir weiter.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
ich habe die Punkte von A-I benannt (von links nach rechts, von oben nach unten).
[mm]g_1=\{A, D, G\}
g_2=\{B, E, H\}
g_3=\{C, F, I\}
g_4=\{A, B, C\}
g_5=\{D, E, F\}
g_6=\{G, H, I\}
g_7=\{D,B\}
g_8=\{G, E, C\}
g_9=\{H, F\}
g_1_0=\{B, F\}
g_1_1=\{A, E, I\}
g_1_2=\{D, H\}[/mm]
Schönen Gruß
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Fr 03.02.2012 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ich habe die Punkte von A-I benannt (von links nach rechts,
> von oben nach unten).
>
> [mm]g_1=\{A, D, G\}
g_2=\{B, E, H\}
g_3=\{C, F, I\}
g_4=\{A, B, C\}
g_5=\{D, E, F\}
g_6=\{G, H, I\}
g_7=\{D,B\}
g_8=\{G, E, C\}
g_9=\{H, F\}
g_1_0=\{B, F\}
g_1_1=\{A, E, I\}
g_1_2=\{D, H\}[/mm]
Die 3punktigen Mengen sind OK. Aber in einer endlichen affinen Ebene liegen auf jeder Geraden gleichviele Punkte. Das ist ein Satz, dessen Beweis du dir mal nebenbei überlegen könntest. Bei den 2punktigen fehlt jeweils ein Punkt, bei [mm] g_{12} [/mm] ist das zB C. In deiner Liste wären ABC und CFI 2 Parallelen zu DH durch C. GEC übrigens auch noch. Das darf nicht sein.
Denk immer daran, daß die Geraden hier nicht wirklich gerade sind.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
wie kommst du darauf, das DHC, ABC, CFI und GEC parallel sind, wenn die Geraden nicht gerade sind? Und nach welchem Kriterium kann ich meine anderen Geraden ergänzen?
Schöne Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:03 Mo 06.02.2012 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Christoph!
> wie kommst du darauf, das DHC, ABC, CFI und GEC parallel
> sind, wenn die Geraden nicht gerade sind? Und nach welchem
> Kriterium kann ich meine anderen Geraden ergänzen?
Deine Gerade ist ja nicht DHC, sondern DH. Und ABC, CFI und GEC sind parallel zu DH, weil sie keinen gemeinsamen Punkt mit DH haben. Zueinander sind sie natürlich nicht parallel, sie schneiden sich ja in C.
DHC (statt DH) ist übrigens eine von den 12 gesuchten Geraden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
danke für deine Antwort. Also ich habe die zweipunktigen Geraden ergänzt. Aber ich habe das eher intuitiv getan, weil meine Skizze dann eine gewisse gleichmäßige Struktur hat. Meine zweipunktigen Geraden heißen nun DHC, BFG, DBI, HFA.
Ist das zumindest im Ansatz richtig?
Schönen Gruß
Christoph
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Hallo Dieter,
ich hab's ich muss jene Geraden deswegen so wählen, wegen der Parallelität.
Vielen Dank nochmal für alles.
Schönen Gruß
Christoph
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