Irrationalität (1+sqrt(2))^n < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 13.10.2013 | | Autor: | Moebius |
| Aufgabe | Zeige:
Für $n [mm] \in \IZ$, [/mm] $n [mm] \neq [/mm] 0$ ist die Zahl $(1 + [mm] \sqrt(2))^n$ [/mm] stets irrational. |
ich komme bei dieser Aufgabe gerade nicht weiter. Meine Idee war, die Aussage zunächst nur für $n [mm] \in \IN$ [/mm] zu zeigen. Mein Ansatz ist zunächst davon auszugehen, dass der Ausdruck rational ist und dies dann auf einen Widerspruch zu führen. Komme aber leider nicht auf einen Widerspruch.
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 So 13.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeige:
> Für [mm]n \in \IZ[/mm], [mm]n \neq 0[/mm] ist die Zahl [mm](1 + \sqrt(2))^n[/mm]
> stets irrational.
>
> ich komme bei dieser Aufgabe gerade nicht weiter. Meine
> Idee war, die Aussage zunächst nur für [mm]n \in \IN[/mm] zu
> zeigen. Mein Ansatz ist zunächst davon auszugehen, dass
> der Ausdruck rational ist und dies dann auf einen
> Widerspruch zu führen. Komme aber leider nicht auf einen
> Widerspruch.
> Danke im Voraus!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nimm dir mal für [mm] n\in\IN [/mm] den Binomischen Lehrsatz her.
[mm] (1+\sqrt{2})^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}\cdot 1^{k}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^{n-k}
[/mm]
Außerdem könnte helfen, dass [mm] (\sqrt{2})^{2m}=2^{m} [/mm] aber [mm] (\sqrt{2})^{2m+1}=2^{m}\cdot\sqrt{2}
[/mm]
In deiner Summe tauchen also bei allen Summanden mit ungeradem k (und die gibt es in für alle n im Binomischen Lehrsatz) Ausdrücke der Form [mm] 2^{\frac{k-1}{2}}\cdot\sqrt{2} [/mm] auf, also mit einer Irrationalzahl.
Für negative n beachte [mm] $(1+\sqrt{2})^{-n}=\frac{1}{(1+\sqrt{2})^{n}}$
[/mm]
Auf diesen Ausdruck kannst du nun wieder die Überlegungen von oben anwenden.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Mo 14.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Definiere die Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] durch
[mm] a_1:=b_1:=1 [/mm]
und [mm] a_{n+1}:=a_n+2b_n, b_{n+1}=a_n+b_n [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 2)
und zeige (induktiv):
1. [mm] a_n,b_n \in \IN [/mm] für alle n [mm] \in \IN;
[/mm]
2. [mm] (1+\wurzel{2})^n=a_n+b_n*\wurzel{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Mo 14.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Definiere die Folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] durch
>
> [mm]a_1:=b_1:=1[/mm]
>
> und [mm]a_{n+1}:=a_n+2b_n, b_{n+1}=a_n+b_n[/mm] (n [mm]\ge[/mm] 2)
>
> und zeige (induktiv):
>
> 1. [mm]a_n,b_n \in \IN[/mm] für alle n [mm]\in \IN;[/mm]
>
> 2. [mm](1+\wurzel{2})^n=a_n+b_n*\wurzel{2}[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
und wenn man 0 als natuerliche Zahl auffasst, sollte man auch noch zeigen, dass immer [mm] $b_n [/mm] > 0$ gilt 
LG Felix
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