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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Do 09.02.2006 | | Autor: | goldie20 |
| Aufgabe | | Ist [mm] x^4+6x+2 \in \IZ_3[x] [/mm] irreduzibel? |
Hallo zusammen,
ich hab zwar was raus, aber weiß nicht so recht, ob es richtig ist.
Also wenn man das geg. Polynom modulo 3 reduziert, kommt [mm] x^4+2 [/mm] heraus und nach Eisenstein ist es für p=2 irreduzibel.
Ich weiß nicht so ganz, ob man in [mm] \Z_3[x] [/mm] das Eisensteinkriterium anwenden kann.
Danke im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
das geht leider nicht so einfach. Eisenstein kann man nur unter bestimmten Bedingungen anwenden. Der Ring muss ZPE-Ring sein. Das ist hier der Fall, da [mm] \IZ_{3} [/mm] ein Körper ist. Bleibt die Frage, wie die Primelemente in [mm] \IZ_{3} [/mm] aussehen. Ist 2 hier sicher Primelement?
Ich würde mir das Polynom versuchen zu zerlegen. Es hat grad4. Nichtkonstante Teiler müssen also entweder vom grad 1 oder vom grad 2 sein. Irreduzibele Polynome vom Grad 1 in [mm] \IZ_{3} [/mm] sind gerade x, x+1, x+2. Wie sehen die irreduzibelen Polynome vom grad 2 aus? Da gibt es nicht so viele Möglichkeiten, z.B. [mm] x^{2}+x+1. [/mm] Dann musst du schauen, ob diese Polynome durch f mod(3) teilbar sind. Ist das der Fall, so ist f reduzibel, andernfalls nicht!
Viele Grüße
Daniel
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Hallo,
habe noch mal kurz darüber nachgedacht. [mm] \IZ_{3} [/mm] ist ja Körper und im Körper ist jedes Element eine Einheit. Also ist die 2 unzerlegbar und damit auch Primelement. So müsste man Eisenstein anwenden können. Dann musst du nur schauen, ob 2 mod(3) durch die ganzen Koeffizienten teilbar bzw. nicht teilbar ist!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Do 09.02.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
so weit ich weiß, wird von primelementen gefordert, dass diese keine einheiten sind (siehe z.b. ![[]](/images/popup.gif) hier)
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 09.02.2006 | | Autor: | goldie20 |
Wäre es auch so möglich??
f(0) = 2
f(1) = 3 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod3)
f(2) 0 6 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 3)
Nullstellen sind als Linearfaktoren abspaltbar => reduzibel
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Hallo,
ja das geht natürlich. Umgekehrt lässt sich aber so nicht auf Irrduzibilität schließen!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Do 09.02.2006 | | Autor: | goldie20 |
Wenn ich also annehme, dass das Polynom aus zwei quadratischen Polynomen besteht, also:
[mm] (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
[/mm]
= [mm] x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)^2+(ad+cb)x+bd
[/mm]
I: a+c = 0 => c = -a
II: b+d+ac = 0
III: ad+cb = 0
IV: bd=2 => b=1 d=2 oder d=1 b=2
oBdA b=1 d=2 einseten in II
1+2+a*(-a)=0
[mm] 3-a^2=0
[/mm]
[mm] 3=a^2
[/mm]
ist kein Element aus [mm] \IZ, [/mm] somit irreduzibel (Irreduzibilität in [mm] \IQ [/mm] ist ja gleichwertig mit irreduzibilität in [mm] \IZ)
[/mm]
Ist das so richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 09.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo goldie
Dein vorheriger post war richtig, weil [mm] x^4+2=0 [/mm] deine angegebenen Lösungen für x=1 und x=2=-1 mod3 hat ist das Polynom reduzibel.
Du kannst auf diese Weise nur nicht die Irreduzibilität beweisen , das meint wohl daniel. Denn selbst wenn du keine Nst. findest könnte es noch reduzibel, nämlich das Produkt aus 2 quadratischen irr. sein.
Aber hier hast du ja Nullstellen . Also kannst du sie wenn du willst auch abspalten (musst du aber nicht!) [mm] $x^4+2=(x+1)*(x+2)*(x^2+1)$
[/mm]
Noch mal, der Beweis, dass es reduzibel ist, ist fertig, OHNE dass du die explizite Zerlegung angibst. (die sollte jetzt nur dich von deinem richtigen Vorgehen überzeugen.
Dein Beweis würde übrigens hinken , denn [mm] a^2=3 [/mm] folgt a=0. und man kann ja [mm] x^4+2 [/mm] auch zerlegen in [mm] (x^2+2)*(x^2+1) [/mm] aber nicht in Q nur in [mm] \IZ_{3}
[/mm]
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 09.02.2006 | | Autor: | goldie20 |
Hallo,
meinst du, dass folgender Lösungsweg richtig ist?
f(0) = 2
f(1) = 3 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod3)
f(2) = 6 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 3)
[mm] \Rightarrow [/mm] reduzibel
Goldie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Do 09.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genau das mein ich! Ging das nicht aus meinem Schrieb hervor?
Gruss leduart
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