Irreduzibele Elemente im Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte den Ring R:= [mm] \IZ [\wurzel{-3}] [/mm] := [mm] \IZ [/mm] + [mm] \wurzel{-3}\IZ \subseteq \IC.
[/mm]
Zeige, dass die Elemente 1+ [mm] \wurzel{-3}, [/mm] 1- [mm] \wurzel{-3} [/mm] und 2 in R irreduzibel sind.
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So, ich weiß zwar dass irreduzibel heißt: Wenn z.B. 2 = xy mit x,y aus R , dann ist x oder y aus der Einheitengruppe, sprich eben x oder y Teiler von 1 ( es ex. ein a aus R mit ax (bzw. ay) = 1).
So weit,so gut...
Es muss doch jetzt für jede Produktdarstellung (xy) z.B. der Zahl 2 gelten, dass einer der Faktoren x oder y eine Einheit ist, also die 1 teilt (ist doch nen unitärer kommutativer Ring oder nicht?!) Ich weiß irgendwie nicht so richtig, wie die Einheiten von dem Ring aussehen?! Stehe da grad etwas auf dem Schlauch.
Könnt ihr mir viell. nen Tipp geben?
Lg und danke schonmal im Voraus!
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 So 14.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia
> Betrachte den Ring R:= [mm]\IZ [\wurzel{-3}][/mm] := [mm]\IZ[/mm] +
> [mm]\wurzel{-3}\IZ \subseteq \IC.[/mm]
> Zeige, dass die Elemente 1+
> [mm]\wurzel{-3},[/mm] 1- [mm]\wurzel{-3}[/mm] und 2 in R irreduzibel sind.
>
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> So, ich weiß zwar dass irreduzibel heißt: Wenn z.B. 2 = xy
> mit x,y aus R , dann ist x oder y aus der Einheitengruppe,
> sprich eben x oder y Teiler von 1 ( es ex. ein a aus R mit
> ax (bzw. ay) = 1).
> So weit,so gut...
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> Es muss doch jetzt für jede Produktdarstellung (xy) z.B.
> der Zahl 2 gelten, dass einer der Faktoren x oder y eine
> Einheit ist, also die 1 teilt (ist doch nen unitärer
> kommutativer Ring oder nicht?!)
Nun, es ist ein unitaerer kommutativer Ring, aber daraus folgt nicht, dass 2 irreduzibel ist. In [mm] $\IZ[\sqrt{-1}]$ [/mm] ist etwa $2 = (1 + [mm] \sqrt{-1}) [/mm] (1 - [mm] \sqrt{-1})$ [/mm] eine Zerlegung in zwei Nicht-Einheiten.
> Ich weiß irgendwie nicht
> so richtig, wie die Einheiten von dem Ring aussehen?!
In diesem Ring sind es [mm] $\pm [/mm] 1$, aber das muss man erstmal zeigen :)
> Stehe da grad etwas auf dem Schlauch.
> Könnt ihr mir viell. nen Tipp geben?
Ein allgemeiner Tipp bei solchen Ringen:
betrachte die Funktion $N : R [mm] \to \IN$, [/mm] $N(a + b [mm] \sqrt{-3}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 3 [mm] b^2 [/mm] = (a + b [mm] \sqrt{3}) [/mm] (a - b [mm] \sqrt{3})$.
[/mm]
Diese Funktion ist multiplikativ, also es gilt $N(x y) = N(x) N(y)$ fuer alle $x, y [mm] \in [/mm] R$, und es gilt $N(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ ist.
Ueberleg dir erstmal, fuer welche $x [mm] \in [/mm] R$ denn $N(x) = 1$ gilt. Du wirst schnell sehen, dies gilt nur fuer $x = [mm] \pm [/mm] 1$.
Wenn jetzt $2 = x y$ ist, dann ist $4 = N(2) = N(x) N(y)$. Entweder ist also $N(x)= 1$ oder $N(y) = 1$, womit $x$ oder $y$ eine Einheit ist, oder es gilt $N(x) = 2 = N(y)$. Aber gibt es Elemente $x [mm] \in [/mm] R$ mit $N(x) = 2$?
LG Felix
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