Irreduzibeles Element < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mo 18.04.2011 | | Autor: | engeltom |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das Element 2 irreduzibel ist im Teilring [mm] Z[i\wurzel{5}], [/mm] aber nicht prim. Hinweis: Zerlegen Sie das Element 6 in [mm] Z[i\wurzel{5} [/mm] |
Hallo,
also ich komme bei dieser Fragestellung überhaupt nicht weiter und kann es beim besten Willen nicht beweisen. Habe schon im Internet gesucht und auch keine richtige Hilfe gefunden, deswegen stell ich diese Frage jetzt hier.
Meine bisherigen Gedanken:
Also ich soll das Element 6 zerlegen.
6 = 2 * 3
Wäre 2 reduzibel müsste ja gelten 2 = [mm] (a+i\wurzel{5}b)(a-i\wurzel{5}b)
[/mm]
genauso bei 3
3 = [mm] (c+i\wurzel{5}d)(c-i\wurzel{5}d)
[/mm]
somit für 6
6 = [mm] (a+i\wurzel{5}b)(a-i\wurzel{5}b)(c+i\wurzel{5}d)(c-i\wurzel{5}d) [/mm] = [mm] (a^{2}+5^{2})(c^{2}+5^{2})
[/mm]
Mehr finde ich nicht heraus, und ob mir das überhaupt etwas bringt, was ich bisher gemacht habe, weiß ich auch nicht.
Schon jetzt vielen Dank für die Hilfe
Gruß
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mo 18.04.2011 | | Autor: | engeltom |
Da schaut man sich die Vorschau an und trotzdem entdeckt man den Fehler nicht.
In der letzten Darstellung des Elementes 6 fehlt natürlich das b und d.
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Hallo Thomas alias engeltom, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
wer sagt denn, dass die Zerlegung von 2 oder 3 so wunderbar symmetrisch sein muss?
> Zeigen Sie, dass das Element 2 irreduzibel ist im Teilring
> [mm]Z[i\wurzel{5}],[/mm] aber nicht prim. Hinweis: Zerlegen Sie das
> Element 6 in [mm]Z[i\wurzel{5}[/mm]
> Hallo,
>
> also ich komme bei dieser Fragestellung überhaupt nicht
> weiter und kann es beim besten Willen nicht beweisen. Habe
> schon im Internet gesucht und auch keine richtige Hilfe
> gefunden, deswegen stell ich diese Frage jetzt hier.
>
> Meine bisherigen Gedanken:
>
> Also ich soll das Element 6 zerlegen.
Ja.
> 6 = 2 * 3
> Wäre 2 reduzibel müsste ja gelten 2 =
> [mm](a+i\wurzel{5}b)(a-i\wurzel{5}b)[/mm]
> genauso bei 3
> 3 = [mm](c+i\wurzel{5}d)(c-i\wurzel{5}d)[/mm]
Nein. Das ist sicher kein hilfreicher Ansatz, weil er nicht allgemein genug ist.
Wenn 2 reduzibel ist, gibt es eine Zerlegung [mm] 2=(a+i\wurzel{5}b)(p+i\wurzel{5}q)
[/mm]
Wenn 3 reduzibel ist, gibt es eine Zerlegung [mm] 3=(c+i\wurzel{5}d)(s+i\wurzel{5}t)
[/mm]
Damit wären folgende Bedingungen klar:
(1) ap-5bq=2
(2) aq+bp=0
(3) cs-5dt=3
(4) ct+ds=0
Aber bevor Du ab hier weitermachst, überleg nochmal, was selbst dieser korrigierte Ansatz denn zeigen könnte.
Die Aufgabe war doch, zu zeigen, dass die 2 zwar irreduzibel, aber dennoch nicht prim ist.
Mit dem obigen Ansatz könntest Du vielleicht zeigen, dass 2 oder 3 doch reduzibel sind (die 3 war nicht gefragt). Oder du zeigst, dass mindestens eine der beiden Zahlen irreduzibel ist.
Damit ist der zweite Teil der Behauptung aber noch gänzlich unbearbeitet. Was sagt das darüber aus, ob 2 prim ist oder nicht?
> somit für 6
> 6 =
> [mm](a+i\wurzel{5}b)(a-i\wurzel{5}b)(c+i\wurzel{5}d)(c-i\wurzel{5}d)[/mm]
> = [mm](a^{2}+5^{2})(c^{2}+5^{2})[/mm]
Falsch, auch mit Deiner Korrektur. Hier fehlen nicht nur b und d. Die richtige Ausmultiplikation wäre doch [mm] (a^2+5b^2)(c^2+5d^2).
[/mm]
> Mehr finde ich nicht heraus, und ob mir das überhaupt
> etwas bringt, was ich bisher gemacht habe, weiß ich auch
> nicht.
Ich denke nicht.
Aber offensichtlich ist, dass [mm] 6=2*3=1+5=(1+i\wurzel{5})(1-i\wurzel{5}) [/mm] ist. Es gibt also zwei Zerlegungen. Das könnte so sein, wenn 2 irreduzibel und prim ist, die 3 aber beides nicht. Gegen diese Annahme spricht aber etwas, das man leicht sehen kann. Was?
Und daraus folgt dann eine Hälfte der Behauptung.
Die andere ist noch zu zeigen, und dazu kannst Du z.B. Deinen ursprünglichen Ansatz oben benutzen.
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mo 18.04.2011 | | Autor: | engeltom |
> Wenn 2 reduzibel ist, gibt es eine Zerlegung $ > [mm] 2=(a+i\wurzel{5}b)(p+i\wurzel{5}q) [/mm] $
> Wenn 3 reduzibel ist, gibt es eine Zerlegung $ > [mm] 3=(c+i\wurzel{5}d)(s+i\wurzel{5}t) [/mm] $
> Damit wären folgende Bedingungen klar:
> (1) ap-5bq=2
> (2) aq+bp=0
> (3) cs-5dt=3
> (4) ct+ds=0
> Aber bevor Du ab hier weitermachst, überleg nochmal, was > selbst dieser korrigierte Ansatz denn zeigen könnte.
Ich weiß nicht, was genau du meinst. Aber könnte ich nicht einfach jetzt durch "ausprobieren" dahinter kommen, dass 2 irreduzibel ist.
Aus Gleichung (1) folgt ja schon, dass weder a noch p gleich 0 sein können, da -5bq=2 mit b, q aus den Ganzen Zahlen nicht möglich ist. Also muss b oder q gleich 0 sein.
Sei jetzt b=0, dann folgt daraus, dass ap=2 und aq=0 ist, was aber bedeuten würde, dass a=0 ist und somit ein Widerspruch. MIt q=0 folgt dies analog.
Irgendwie kommt mir das jetzt zu einfach vor. :-D
> Damit ist der zweite Teil der Behauptung aber noch > gänzlich unbearbeitet. Was sagt das darüber aus, ob 2 prim > ist oder nicht?
Für den zweiten Teil würde ich einfach so argumentieren:
Die 2 teilt [mm] 6=(1+i\wurzel{5})(1-i\wurzel{5}), [/mm] aber die 2 teilt weder [mm] (1+i\wurzel{5}) [/mm] noch [mm] (1-i\wurzel{5}). [/mm] Das sollte reichen, oder etwa doch nicht.
somit für 6
6 =
$ [mm] (a+i\wurzel{5}b)(a-i\wurzel{5}b)(c+i\wurzel{5}d)(c-i\wurzel{5}d) [/mm] $
= $ [mm] (a^{2}+5^{2})(c^{2}+5^{2}) [/mm] $
> Falsch, auch mit Deiner Korrektur. Hier fehlen nicht nur > b und d. Die richtige Ausmultiplikation wäre doch $
> [mm] (a^2+5b^2)(c^2+5d^2). [/mm] $
Ja das meinte ich eigentlich  trotzdem danke
> Aber offensichtlich ist, dass $ [mm] 6=2\cdot{}3=1+5= [/mm]
> [mm] (1+i\wurzel{5})(1-i\wurzel{5}) [/mm] $ ist. Es gibt also zwei > Zerlegungen. Das könnte so sein, wenn 2 irreduzibel und > prim ist, die 3 aber beides nicht. Gegen diese Annahme
> spricht aber etwas, das man leicht sehen kann. Was?
Da steh ich auf dem Schlauch. Also wenn 2 irreduzibel und prim ist (was es ja nicht ist), dann könnte dies stimmen falls 3 reduzibel und nicht prim wäre. ?????
Vielen Dank, ich weiß ich stelle mich manchmal dumm an, aber ich komm mit manche Dingen in der Mathematik einfach nicht klar.
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Hallo Thomas,
Du stellst Dich keineswegs dumm an. Du bist nur noch nicht in Übung. Und ich bin aus der Übung, das passt doch gar nicht so schlecht...
> > Damit wären folgende Bedingungen klar:
> > (1) ap-5bq=2
> > (2) aq+bp=0
> > (3) cs-5dt=3
> > (4) ct+ds=0
>
> > Aber bevor Du ab hier weitermachst, überleg nochmal, was >
> selbst dieser korrigierte Ansatz denn zeigen könnte.
>
> Ich weiß nicht, was genau du meinst. Aber könnte ich
> nicht einfach jetzt durch "ausprobieren" dahinter kommen,
> dass 2 irreduzibel ist.
Na, "ausprobieren" wird nicht genügen. Du sollst es zeigen, und das ist im Prinzip das gleiche wie beweisen. Nur sagt man eher "zeigen", wenn es - wie hier - noch nicht um das Ganze geht, sondern nur um einen einzelnen Wert. Dennoch muss für diesen Wert (also hier die 2) der Nachweis hieb- und stichfest sein.
> Aus Gleichung (1) folgt ja schon, dass weder a noch p
> gleich 0 sein können, da -5bq=2 mit b, q aus den Ganzen
> Zahlen nicht möglich ist.
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also muss b oder q gleich 0
> sein.
Nein, das folgt nicht. Sonst wäre ja -5*0=2.
Es muss also reichen, [mm] a*p\not=0 [/mm] als Zwischenschritt gesichert zu haben.
> Sei jetzt b=0, dann folgt daraus, dass ap=2 und aq=0 ist,
> was aber bedeuten würde, dass a=0 ist und somit ein
> Widerspruch. MIt q=0 folgt dies analog.
Nein, da ein Schritt vorher unzulässig war, siehe oben.
> Irgendwie kommt mir das jetzt zu einfach vor. :-D
Ach so viel zu einfach auch nicht. Richtig wäre (nochmal von oben):
> > Damit wären folgende Bedingungen klar:
> > (1) ap-5bq=2
> > (2) aq+bp=0
Drei Fälle sind möglich:
I) ap>0.
Dann $ [mm] \Rightarrow [/mm] 5bq>0 $ (aus Gl. (1))
und $ bq<0 $ (aus Gl. (2)). Widerspruch.
II) ap<0.
Dann $ [mm] \Rightarrow [/mm] 5bq<0 $ (aus Gl. (1))
und $ bq>0 $ (aus Gl. (2)). Widerspruch.
III) ap=0.
Dann $ [mm] \Rightarrow [/mm] 5bq=2. Unmöglich.
Also: nicht lösbar. Die 2 ist irreduzibel.
> > Damit ist der zweite Teil der Behauptung aber noch >
> gänzlich unbearbeitet. Was sagt das darüber aus, ob 2
> prim > ist oder nicht?
>
> Für den zweiten Teil würde ich einfach so argumentieren:
> Die 2 teilt [mm]6=(1+i\wurzel{5})(1-i\wurzel{5}),[/mm] aber die 2
> teilt weder [mm](1+i\wurzel{5})[/mm] noch [mm](1-i\wurzel{5}).[/mm] Das
> sollte reichen, oder etwa doch nicht.
Ja, genau. Das ist richtig.
> > Aber offensichtlich ist, dass $ [mm]6=2\cdot{}3=1+5=[/mm]
> > [mm](1+i\wurzel{5})(1-i\wurzel{5})[/mm] $ ist. Es gibt also zwei >
> Zerlegungen. Das könnte so sein, wenn 2 irreduzibel und >
> prim ist, die 3 aber beides nicht. Gegen diese Annahme
> > spricht aber etwas, das man leicht sehen kann. Was?
>
> Da steh ich auf dem Schlauch. Also wenn 2 irreduzibel und
> prim ist (was es ja nicht ist), dann könnte dies stimmen
> falls 3 reduzibel und nicht prim wäre. ?????
Du weißt jetzt, dass die 6 auf (mindestens) zwei echt verschiedene Weisen faktorisiert werden kann, also 6=gh=ij, weißt auch, dass für g=2 g nicht weiter zerlegbar ist. Wäre g aber zugleich prim, dann dürfte es die Zerlegung ij nicht geben.
Versuch doch mal, das in eine vernünftige logische Argumentation zu bringen. Denn im Grundsatz bist Du bis hier fertig.
Übrigens könnte es noch eine kürzere und elegantere Vorgehensweise geben; ich sehe sie bloß gerade nicht. Siehe meine Eingangsbemerkung...
Grüße
reverend
> Vielen Dank, ich weiß ich stelle mich manchmal dumm an,
> aber ich komm mit manche Dingen in der Mathematik einfach
> nicht klar.
Willkommen als Mitglied der Mehrheit! :-D
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