Irreduzibelität Beweis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Fr 17.01.2014 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das folgende Polynom in [mm] \IQ[x] [/mm] irreduzibel ist und überprüfen Sie, ob es auch in [mm] \IZ[x] [/mm] irreduzibel ist.
f(x)= [mm] 3x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + 1 |
Hallo, 
habe hierzu noch eine Frage. Hatte diese Aufgabe per Reduktion mod 2 gelöst. Was mich interessieren würde, wäre folgendes:
Gibt es hier eigentlich noch eine weitere Methode, um die Irreduzibelität dieses Polynoms zu zeigen?
LG,
DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Fr 17.01.2014 | | Autor: | DrRiese |
Jaja, deutsche Sprache, schwere Sprache
Aber so wie ich das verstanden habe, scheint in diesem Fall mod 3 doch gar nicht in Frage zu kommen, da 3 den Leitkoeffizienten teilt
LG
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Hallo nochmal,
> Jaja, deutsche Sprache, schwere Sprache
Und wii. 
> Aber so wie ich das verstanden habe, scheint in diesem Fall
> mod 3 doch gar nicht in Frage zu kommen, da 3 den
> Leitkoeffizienten teilt
Macht doch nichts. Es gibt trotzdem keine Nullstelle.
Außerdem erleitert es das Rechnen ja erheblich.
Quadrate [mm] \bmod{3} [/mm] gibts nur 0 und 1.
Du kannst auch noch etwas anderes machen.
Betrachtung [mm] \bmod{5}: 3x^3+x^2+1 \;\;\big|*2
[/mm]
[mm] \gdw x^3+2x^2+2
[/mm]
Jetzt Eisenstein mit $p=2$.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Sa 18.01.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Zeigen Sie, dass das folgende Polynom in [mm]\IQ[x][/mm] irreduzibel
> ist und überprüfen Sie, ob es auch in [mm]\IZ[x][/mm] irreduzibel
> ist.
> f(x)= [mm]3x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + 1
>
> habe hierzu noch eine Frage. Hatte diese Aufgabe per
> Reduktion mod 2 gelöst. Was mich interessieren würde,
> wäre folgendes:
> Gibt es hier eigentlich noch eine weitere Methode, um die
> Irreduzibelität dieses Polynoms zu zeigen?
modulo 17 und 23 hat es keine Nullstellen. Das ist aber aufwaendiger als Modulo 2
Weiterhin muss jede Nullstelle in [mm] $\IQ$ [/mm] von der Form [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] mit $p [mm] \mid [/mm] 1$ und $q [mm] \mid [/mm] 3$ sein, womit nur [mm] $\pm [/mm] 1$ und [mm] $\pm \tfrac{1}{3}$ [/mm] bleiben. Dass sie keine Nullstellen sind kann man schnell nachrechnen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Di 21.01.2014 | | Autor: | DrRiese |
Ok, dann schonmal vielen Dank
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