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HI!
Ich beschäftige mich gerade mit Irreduzibilität und es ist ja ganz klar, dass aus der Nicht-Existenz von Nullstellen nicht automatisch die Irreduzibilität folgt. Jetzt habe ich folgendes Polynom: [mm] \summe_{i=0}^{n}(n-i+1)x^{i} [/mm] und soll zeigen, dass es irreduzibel ist. Warum reicht es zu zeigen, dass es keine rationalen Nullstellen besitzt? Wie zeige ich, dass es keine rationalen Nullstellen besitzt?
Ich habe es schon mit Monotonie versucht und komme aber nur für gerade n weiter. Für ungerade n, kann ich zeigen, dass das Polynom monoton steigend ist, aber die Nullstelle weiß ich nicht!
Wäre schön, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte!
Übrigens lässt sich das Polynom folgendermaßen ohne Summenzeichen darstellen:
[mm] f(x)=\bruch{x^{n+2}-(n+2)x+n+1}{(x-1)^{2}}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Do 03.07.2008 | | Autor: | smurfette |
Es wär echt schön, wenn mir jemand mal einen Tipp geben könnte!
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> HI!
> Ich beschäftige mich gerade mit Irreduzibilität und es ist
> ja ganz klar, dass aus der Nicht-Existenz von Nullstellen
> nicht automatisch die Irreduzibilität folgt. Jetzt habe ich
> folgendes Polynom: [mm]\summe_{i=0}^{n}(n-i+1)x^{i}[/mm] und soll
> zeigen, dass es irreduzibel ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wie lautet denn die genaue Aufgabe?
Daß das Polynom irreduzibel ist, dürfte für die allermeisten n nicht stimmen. Über [mm] \IR [/mm] nämlich wird es für [mm] n\ge [/mm] 3 reduzibel sein.
Irreduzibilität über was sollst Du denn zeigen? Über [mm] \IZ [/mm] vielleicht?
Zu den rat. Nullstellen: ich habe das nicht gerechnet, aber ich würde mal annehmen, daß es eine rationale Nullstelle gibt, und dann versuchen, dies zum Widerspruch zu führen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Di 08.07.2008 | | Autor: | smurfette |
Danke schonmal!
Ja, die Irreduzibilität soll ich über [mm] \IZ [/mm] zeigen. Ich soll eben zeigen, dass das Polynom irreduzibel ist und soll dies dadurch zeigen, dass es keine rationalen Nullstellen besitzt. Und leider weiß ich nicht wie!
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> Ja, die Irreduzibilität soll ich über [mm]\IZ[/mm] zeigen. Ich soll
> eben zeigen, dass das Polynom irreduzibel ist und soll dies
> dadurch zeigen, dass es keine rationalen Nullstellen
> besitzt. Und leider weiß ich nicht wie!
Hallo,
hast Du denn den von mir vorgeschlagenen Weg schonmal versucht? Ergebnisse, Probleme? (Beachte bitte, daß wir lt. Forenregeln eigene Lösungsansätze von Dir erwarten.)
Was steht Dir an Sätzen und Kriterien zur Irreduzibilität zur Verfügung? Was hast Du versucht?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Di 08.07.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Angela,...
> Ergebnisse, Probleme? (Beachte bitte, daß wir lt.
> Forenregeln eigene Lösungsansätze
> von Dir erwarten.)
> Was hast Du versucht?
...ich habe einiges versucht, genauer: Ich habe immer wieder darüber nachgedacht und finde überhaupt keinen Zugang. Peinliche Sache das! Mir ist nicht einmal klar, warum es reichen soll, wenn das Ding keinen linearen Faktor hat.
Ich hätte da auch gerne einen Hinweis, in welche Richtung ich denken soll. Noch ist ja ein volles Wochenende Zeit bis zur Abgabe.
Oder ist das ganz einfach und ich kämpfe mit dem berühmten Brett? Aber unsere Gurus halten sich hier auch dezent zurück...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Di 08.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter und Angela,
> ...ich habe einiges versucht, genauer: Ich habe immer
> wieder darüber nachgedacht und finde überhaupt keinen
> Zugang. Peinliche Sache das! Mir ist nicht einmal klar,
> warum es reichen soll, wenn das Ding keinen linearen Faktor
> hat.
mir geht's ebenso. Peinlich braucht es dir nicht zu sein :)
Laut MAPLE stimmt die Aussage zumindest fuer $n = 1, [mm] \dots, [/mm] 100$.
LG Felix
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Hallo Dieter und Felix,
wenn Ihr das beide nicht könnt, wird es wohl ein echtes Problem sein...
Ich hab' selbstverständlich erst recht keine Lösung in der Tasche!
Ich stell's mal wieder auf unbeantwortet - obgleich ich smurfettes Bericht über die entfalteten Aktivitäten schmerzlich vermisse.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Mi 09.07.2008 | | Autor: | statler |
Hallo liebe Leute!
Ich bin mir jetzt darüber im klaren, daß
p(x) = [mm] x^{n} [/mm] + [mm] 2*x^{n-1} [/mm] +
+ n*x + (n+1)
keine Nullstelle in [mm] \IQ [/mm] hat.
Begründung: Eine Nullstelle in [mm] \IQ [/mm] wäre eine in [mm] \IZ. [/mm] Aber für gerades n gibt es gar keine, und für ungerades n > 1 liegt sie zwischen -2 und -1, also nicht in [mm] \IZ.
[/mm]
(Vielleicht trage ich dafür noch einen vollständigen Beweis nach.)
Aber warum ist es deswegen irreduzibel? Das ist im Moment für mich noch mysteriös.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Do 10.07.2008 | | Autor: | smurfette |
Hallo Angela, sorry, hab mich natürlich damit beschäftigt und bin auch so weit, dass es keine rationale Nullstelle geben kann:
Habe angenommen [mm] \bruch{p}{q}, [/mm] p,q teilerfremd und aus [mm] \IZ, [/mm] sei die Nullstelle, dann komme ich darauf, dass q=1 sein muss. Aber wie ich sehe, ward ihr mal wieder schneller als ich!
Jetz muss ich noch an der Irreduzibilität knabbern...
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> [mm]\summe_{i=0}^{n}(n-i+1)x^{i}[/mm] [mm] =\bruch{x^{n+2}-(n+2)x+n+1}{(x-1)^{2}}[/mm] [/mm]
Hallo,
wenn n+2 eine Primzahl ist, bekommt man das mit Eisenstein unter Kontrolle, indem man [mm] f(x+1)=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n+2\\i+2}x^i [/mm] betrachtet.
Leider bleibt das Problem damit für ziemlich viele n ungelöst...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Do 17.07.2008 | | Autor: | smurfette |
Hmm, für mich stellt sich die Frage, was hat die Nicht-Existenz rationaler Nullstellen mit der Irreduzibilität zu tun. Irgendwie muss es doch da einen Trick geben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Fr 18.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi!
Ich habe noch folgendes Problem: Ich habe das Polynom: [mm] \summe_{i=0}^{n}(n-i-1)x^{i}=\bruch{x^{n+2}-(n+2)x+n+1}{(x-1)^{2}} [/mm] und weiß, dass es keine rationalen Nullstellen besitzt. Jetzt soll ich zeigen, dass es irreduzibel ist und komm einfach nicht weiter!
Kann mir bitte jemand helfen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Fr 18.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo smurfette
Bitte poste Fragen zu dieser Aufgabe im passenden Thread. Ich habe die Frage jetzt mal dorthin verschoben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Sa 09.08.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich habe noch folgendes Problem: Ich habe das Polynom:
> [mm]\summe_{i=0}^{n}(n-i-1)x^{i}=\bruch{x^{n+2}-(n+2)x+n+1}{(x-1)^{2}}[/mm]
> und weiß, dass es keine rationalen Nullstellen besitzt.
> Jetzt soll ich zeigen, dass es irreduzibel ist und komm
> einfach nicht weiter!
> Kann mir bitte jemand helfen??
Das ganze hast du dir ja nicht selber ausgedacht, also gibt es entweder einen Aufgabensteller oder ein Buch/Paper etc. wo das her ist. Warum fragst du da nicht einfach mal nach?
Und wenn du's rausgefunden hast, teil uns das doch bitte auch mit.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mo 18.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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