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| Aufgabe | | Es seien R [mm] \in \{\IC, \IR, \IQ, \IZ, \IZ_2, \IZ_3, \IZ_5, \IZ_7\} [/mm] und f := [mm] X^2+X+1 \in [/mm] R[X]. Für welche R ist f in R[X] irreduzibel? |
Hallo,
könnte mir jemand bei obiger Aufgabe helfen?
f wäre doch irreduzibel, wenn es in R nicht invertierbar ist und für g,h [mm] \in [/mm] R[X] mit f=gh folgt, dass g oder h invertierbar ist (Wiki).
Da f nicht bijektiv ist, ist es in [mm] \IR[X] [/mm] nicht invertierbar, es existiert auch keine Faktorisierung in [mm] \IR[X], [/mm] somit irreduzibel.
Aber was kann man über die restlichen Polynomringe sagen?
Vielen Dank schonmal im Voraus!
Gruß,
Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo Gratwanderer!
> Es seien R [mm]\in \{\IC, \IR, \IQ, \IZ, \IZ_2, \IZ_3, \IZ_5, \IZ_7\}[/mm]
> und f := [mm]X^2+X+1 \in[/mm] R[X]. Für welche R ist f in R[X]
> irreduzibel?
> Hallo,
>
> könnte mir jemand bei obiger Aufgabe helfen?
>
> f wäre doch irreduzibel, wenn es in R nicht invertierbar
> ist und für g,h [mm]\in[/mm] R[X] mit f=gh folgt, dass g oder h
> invertierbar ist (Wiki).
>
> Da f nicht bijektiv ist, ist es in [mm]\IR[X][/mm] nicht
> invertierbar, es existiert auch keine Faktorisierung in
> [mm]\IR[X],[/mm] somit irreduzibel.
Vorsicht! Mit Bijektivität hat das nichts zu tun. In der Algebra spricht man von einem invertierbarem Element a (bzw. einer Einheit), wenn es ein anderes Element b gibt, sodass a*b=1 ist. Hiermit ist wirklich das multiplikativ neutrale Element des Ringes gemeint. Im Polynomring ist das das Polynom, dass konstant 1 ist.
Nun zu deiner eigentlichen Aufgabe. Wie du ja festgestellt hast, brauchen wir eine Zerlegung des Polynoms 2. Grades in zwei Elemente g und h, die beide keine Einheit sind. Dies ist nur möglich, wenn g und h den Grad 1 haben. (Warum?) Das ist aber das gleiche, als wenn man Nullstellen in den jeweiligen Ringen sucht. Für die Ringe [mm] $\IZ_2, \IZ_3,\IZ_5,\IZ_7$ [/mm] kannst du das durch einfaches Einsetzten herausfinden. Hast du eine Nullstelle gefunden, so führst du die Polynomdivision durch und hast eine Faktorisierung in zwei Nicht-Einheiten gefunden.
Für die anderen Ringe hilft es dir vllt, dass das 3. Kreisteilungspolynom ist, dass keine Nullstellen in [mm] $\IZ,\IQ,\IR$, [/mm] wohl aber in [mm] $\IC$ [/mm] besitzt. Wie sehen dann die Faktorisierungen aus?
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Di 18.05.2010 | | Autor: | pitta |
Wie sieht denn ne Nullstelle in [mm] \IC [/mm] aus?
Das "i" muss ja irgendwie wieder wegfallen... komm ich nich drauf...
Und: hat [mm] \IZ_{2} [/mm] ne Nullstelle?
Damit ist doch der Restklassenring gemeint, also [mm] \IZ_{2} [/mm] = { 0, 1 }
[mm] 0^2 [/mm] + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
[mm] 1^2 [/mm] + 1 +1 = 1+1+1= 0 + 1= 1
wobei ich mit 1 und 0 jeweils die Mengen meine...
oder bin ich total aufm holzweg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Mi 19.05.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Wie sieht denn ne Nullstelle in [mm]\IC[/mm] aus?
Ja wie wohl?
> Das "i" muss ja irgendwie wieder wegfallen... komm ich
> nich drauf...
Für die Nullstellensuche bei Polynomen 2. Grades über [mm] \IC [/mm] haben wir die uns aus der Mittelstufe bekannte p-q-Formel, die da wahre Wunderdinge leistet.
> Und: hat [mm]\IZ_{2}[/mm] ne Nullstelle?
Nein, Körper haben keine Nullstellen, so wie Mengen nicht bijektiv sind und der Wind nicht grün. Womit ich dazu aufrufen möchte, sich einer präzisen Sprache zu befleißigen und semantisch korrekte Sätze zu bilden.
> Damit ist doch der Restklassenring gemeint, also [mm]\IZ_{2}[/mm] =
> { 0, 1 }
>
> [mm]0^2[/mm] + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
>
> [mm]1^2[/mm] + 1 +1 = 1+1+1= 0 + 1= 1
>
> wobei ich mit 1 und 0 jeweils die Mengen meine...
... und deswegen besser [mm] \overline{0} [/mm] und [mm] \overline{1} [/mm] geschrieben hätte.
Und: Gibt es nun eine Nullstelle oder nicht?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
für die Restklassenpolynomringe bin ich auf folgende Ergebnisse gekommen:
in [mm] \IZ_2[X] [/mm] existiert keine Faktorisierung des Polynoms, da keine Nullstellen, somit irreduzibel.
in [mm] \IZ_3[X] [/mm] kann man f faktorisieren in (X-1)(X+2), es ist somit reduzibel.
in [mm] \IZ_5[X] [/mm] ex. keine Faktorisierung, somit irred.
in [mm] \IZ_7[X] [/mm] ex. eine Faktorisierung (X-2)(X+3), somit red.
Ist das so richtig?
Ich vermute, dass f in [mm] \IZ[X], \IQ[X], \IR[X] [/mm] irred. ist, und in [mm] \IC[X] [/mm] reduzibel, doch wie kann ich das zeigen? Ich habe leider den Tipp mit dem Kreisteilungspolynom nicht umsetzen können.
Ich habe es erstmal so versucht:
[mm] X^2 [/mm] + X + 1 = 0
[mm] \Rightarrow (X+\frac{1}{2})^2 [/mm] = [mm] -\frac{3}{4}
[/mm]
Die Wurzel ex. nur in [mm] \IC [/mm] somit wäre eine Faktorisierung nur in [mm] \IC[X] [/mm] möglich ?
Vielen Dank für eure Antworten ;)
Gruß,
Gratwanderer
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Hallo Gratwanderer,
> Hallo,
>
> für die Restklassenpolynomringe bin ich auf folgende
> Ergebnisse gekommen:
>
> in [mm]\IZ_2[X][/mm] existiert keine Faktorisierung des Polynoms, da
> keine Nullstellen, somit irreduzibel. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> in [mm]\IZ_3[X][/mm] kann man f faktorisieren in (X-1)(X+2),
[mm] $=(x+2)^2$
[/mm]
> es ist somit reduzibel.
>
> in [mm]\IZ_5[X][/mm] ex. keine Faktorisierung, somit irred.
>
> in [mm]\IZ_7[X][/mm] ex. eine Faktorisierung (X-2)(X+3)
$=(x+3)(x+5)$
> , somit red.
>
> Ist das so richtig?
Ja!
>
> Ich vermute, dass f in [mm]\IZ[X], \IQ[X], \IR[X][/mm] irred. ist,
> und in [mm]\IC[X][/mm] reduzibel, doch wie kann ich das zeigen? Ich
> habe leider den Tipp mit dem Kreisteilungspolynom nicht
> umsetzen können.
>
> Ich habe es erstmal so versucht:
>
> [mm]X^2[/mm] + X + 1 = 0
>
> [mm]\Rightarrow (X+\frac{1}{2})^2[/mm] = [mm]-\frac{3}{4}[/mm]
>
> Die Wurzel ex. nur in [mm]\IC[/mm] somit wäre eine Faktorisierung
> nur in [mm]\IC[X][/mm] möglich ?
Ganz genau, das Polynom hat in [mm] $\IR$ [/mm] keine NST(en), also auch nicht in [mm] $\IZ,\IQ\subset\IR$
[/mm]
Gib mal die Faktorisierung über [mm] $\IC$ [/mm] konkret an ...
>
> Vielen Dank für eure Antworten ;)
>
> Gruß,
>
> Gratwanderer
LG
schachzipus
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Hallo,
ich habe folgendes zur Faktorisierung in [mm] \IC [/mm] raus:
[mm] (X+\frac{1}{2})^2 [/mm] = [mm] \pm \sqrt{-\frac{3}{4}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] X = [mm] -\frac{1}{2} \pm [/mm] i [mm] \frac{\sqrt{3}}{2}
[/mm]
Die Faktorisierung in [mm] \IC [/mm] müsste dann so aussehen:
[mm] X^2+X+1 [/mm] = [mm] (X+\frac{1}{2} [/mm] + i [mm] \frac{\sqrt{3}}{2})(X+\frac{1}{2} [/mm] - i [mm] \frac{\sqrt{3}}{2})
[/mm]
Viele Grüße,
Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Fr 21.05.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ich habe folgendes zur Faktorisierung in [mm]\IC[/mm] raus:
>
> [mm](X+\frac{1}{2})^2[/mm] = [mm]\pm \sqrt{-\frac{3}{4}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] X = [mm]-\frac{1}{2} \pm[/mm] i [mm]\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
Besser [mm] X_{1/2} [/mm] = ...
> Die Faktorisierung in [mm]\IC[/mm] müsste dann so aussehen:
>
> [mm]X^2+X+1[/mm] = [mm](X+\frac{1}{2}[/mm] + i
> [mm]\frac{\sqrt{3}}{2})(X+\frac{1}{2}[/mm] - i [mm]\frac{\sqrt{3}}{2})[/mm]
Paletti!
Gruß aus HH-harburg
Dieter
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