Irreduzibilität < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Di 04.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | Zeige, dass folgende Polynome irreduzibel sind:
(i) [mm] $X^4 [/mm] + [mm] 3X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] - 2X + 1 [mm] \in \IQ[X] [/mm] $
(ii) [mm] $2X^4 [/mm] + [mm] 200X^3 [/mm] + [mm] 2000X^2 [/mm] + 20000X + 20 [mm] \in \IQ[X] [/mm] $
(iii) $X^2Y + [mm] XY^2 [/mm] - X - Y + 1 [mm] \in \IQ[X,Y]$ [/mm] |
Ist der Lösungsweg in Ordnung ?:
(i)
- fasse das Polynom als Polynom in [mm] \IZ[X] [/mm] (darf ich das, bzw. brauche ich das überhaupt?)
- Reduktion (modulo) mit 3.
- Zeigen, dass das resultierende Polynom in [mm] \IZ/3\IZ[X] [/mm] irreduzibel ist
(ii)
- Eisensteinkriterium mit p = 5
(iii)
- [mm] $\IQ[X,Y] [/mm] = [mm] \IQ[X][Y] [/mm] = [mm] XY^2 [/mm] + [mm] (X^2-1)Y [/mm] - (X-1)$
- Eisensteinkriterium mit p = (x-1)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 04.09.2012 | | Autor: | teo |
> Zeige, dass folgende Polynome irreduzibel sind:
>
> (i) [mm]X^4 + 3X^3 + X^2 - 2X + 1 \in \IQ[X][/mm]
>
> (ii) [mm]2X^4 + 200X^3 + 2000X^2 + 20000X + 20 \in \IQ[X][/mm]
>
> (iii) [mm]X^2Y + XY^2 - X - Y + 1 \in \IQ[X,Y][/mm]
>
> Ist der Lösungsweg in Ordnung ?:
>
> (i)
>
> - fasse das Polynom als Polynom in [mm]\IZ[X][/mm] (darf ich das,
> bzw. brauche ich das überhaupt?)
Ja darfst du. In der mir bekannten Fassung muss man das Polynom in [mm] \IZ[x] [/mm] betrachten. Also ja das brauchst du! Welcher Satz fehlt dir noch, um daraus die Irreduzibilität über [mm] \IQ [/mm] zu erhalten?
> - Reduktion (modulo) mit 3.
> - Zeigen, dass das resultierende Polynom in [mm]\IZ/3\IZ[X][/mm]
> irreduzibel ist
Wie machst du das?
> (ii)
>
> - Eisensteinkriterium mit p = 5
> (iii)
>
> - [mm]\IQ[X,Y] = \IQ[X][Y] = XY^2 + (X^2-1)Y - (X-1)[/mm]
> -
> Eisensteinkriterium mit p = (x-1)
>
Hier musst du aber zeigen, dass p ein Primelement in [mm] \IQ[x] [/mm] ist! Erst dann kannst du Eisenstein benutzen!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Di 04.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
> Ja darfst du. In der mir bekannten Fassung muss man das
> Polynom in [mm]\IZ[x][/mm] betrachten. Also ja das brauchst du!
> Welcher Satz fehlt dir noch, um daraus die Irreduzibilität
> über [mm]\IQ[/mm] zu erhalten?
Satz/Lemma von Gauß?
> Wie machst du das?
Indem ich das Polynom auf Nullstellen überprüfe. D.h. ich probiere 0, 1, 2 durch und sehe, dass es keine gibt.
> > (iii)
> >
> > - [mm]\IQ[X,Y] = \IQ[X][Y] = XY^2 + (X^2-1)Y - (X-1)[/mm]
> > -
> > Eisensteinkriterium mit p = (x-1)
> >
> Hier musst du aber zeigen, dass p ein Primelement in [mm]\IQ[x][/mm]
> ist! Erst dann kannst du Eisenstein benutzen!
>
> Grüße
Öhm. Da [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist, ist [mm] \IQ[X] [/mm] ein Hauptidealring. x-1 ist irreduzibel, also auch prim.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 04.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Ja darfst du. In der mir bekannten Fassung muss man das
> > Polynom in [mm]\IZ[x][/mm] betrachten. Also ja das brauchst du!
> > Welcher Satz fehlt dir noch, um daraus die Irreduzibilität
> > über [mm]\IQ[/mm] zu erhalten?
>
> Satz/Lemma von Gauß?
Genau.
> > Wie machst du das?
>
> Indem ich das Polynom auf Nullstellen überprüfe. D.h. ich
> probiere 0, 1, 2 durch und sehe, dass es keine gibt.
Da es Grad 4 hat reicht das nicht aus. Es koennte modulo 3 ein Produkt zweier irreduzibler quadratischer Faktoren sein.
> > > - [mm]\IQ[X,Y] = \IQ[X][Y] = XY^2 + (X^2-1)Y - (X-1)[/mm]
> > >
> > > Eisensteinkriterium mit p = (x-1)
> > >
> > Hier musst du aber zeigen, dass p ein Primelement in [mm]\IQ[x][/mm]
> > ist! Erst dann kannst du Eisenstein benutzen!
>
> Öhm. Da [mm]\IQ[/mm] ein Körper ist, ist [mm]\IQ[X][/mm] ein
> Hauptidealring. x-1 ist irreduzibel, also auch prim.
Genau.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 04.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hey,
> Da es Grad 4 hat reicht das nicht aus. Es koennte modulo 3
> ein Produkt zweier irreduzibler quadratischer Faktoren
> sein.
oh, Mist.
Hab ich jetzt nicht bedacht.
Dann reiche ich das jetzt noch nach:
Irreduzibel sind (meiner Meinung nach):
[mm] $X^2 [/mm] + 1$
[mm] $X^2 [/mm] + X + 2$
[mm] $X^2 [/mm] + 2X + 2$
Man führt dann eine Polynomdivision mit diesen durch und es geht dann hoffentlich nicht auf.
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Hallo Kimmel,
> > Da es Grad 4 hat reicht das nicht aus. Es koennte modulo 3
> > ein Produkt zweier irreduzibler quadratischer Faktoren
> > sein.
>
> oh, Mist.
> Hab ich jetzt nicht bedacht.
> Dann reiche ich das jetzt noch nach:
>
> Irreduzibel sind (meiner Meinung nach):
>
> [mm]X^2 + 1[/mm]
> [mm]X^2 + X + 2[/mm]
> [mm]X^2 + 2X + 2[/mm]
Das sind sie. Sind das auch alle?
> Man führt dann eine Polynomdivision mit diesen durch und
> es geht dann hoffentlich nicht auf.
Hoffentlich? Menno.
Etwas mehr Vorbereitung, bitte. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hey reverend,
> Das sind sie. Sind das auch alle?
Leider nicht:
[mm] $2X^2 [/mm] + X + 1$
[mm] $2X^2 [/mm] + 2X + 1$
Jetzt müssten es alle sein, oder ich habe mich verrechnet.
> Hoffentlich? Menno.
> Etwas mehr Vorbereitung, bitte.
Hihi.
Mir geht es nur darum, ob die Lösungsidee stimmt :p
(Klingt nach einer Ausrede, haha...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 05.09.2012 | | Autor: | teo |
Ja jetzt passts, ich hätte die nicht normierten auch vergessen .
Aber für den Beweis wäre dann eine kleine Begründung, warum es ausreicht nur noch die irreduziblen Polynome vom Grad 2 zu betrachten ganz gut.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
> Ja jetzt passts, ich hätte die nicht normierten auch
> vergessen .
Yay :)
Die hatte ich leider vergessen...
> Aber für den Beweis wäre dann eine kleine Begründung,
> warum es ausreicht nur noch die irreduziblen Polynome vom
> Grad 2 zu betrachten ganz gut.
Wenn es ein irredzibles Polynom vom Grad 3 wäre, dann hätte ich dabei ein Polynom vom Grad 1 bekommen, was ich aber schon abgedeckt habe.
Meintest du das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mi 05.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ja genau. Das Polynom hat in [mm] \IF_3 [/mm] keine Nullstellen. Es lässt sich also kein Linearfaktor vom Grad 1 abspalten. Somit kann das Polynom nur Produkt zweier irreduzibler Polynome vom Grad 2 sein.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke an alle!
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