Irreduzible Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mi 02.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Zeige, dass die folgenden Polynome in [mm] \IQ[X] [/mm] irreduzibel sind.
a) [mm] X^{2^{n}}+1 [/mm] für [mm] n\in \IN
[/mm]
b) [mm] 6*X^{4}+54*X^{3}+18*X^{2}-9*X+108
[/mm]
c) [mm] X^{4}+a^{2} [/mm] wobei [mm] a\in \IZ [/mm] ungerade ist
d) [mm] f=X^{n}+a_{n-1}*X^{n-1}+a_{0} [/mm] mit [mm] a_{i}\in \IZ[X] [/mm] und [mm] a_{0}\not=0
[/mm]
f habe die komplexen Nullstellen [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n} [/mm] mit [mm] |\lambda_{1}|,...|\lambda_{n-1}|<1 [/mm] |
Heyho
Ich habe ehrlich gesagt nicht so richtig Ahnung, wie man Irreduzibilität dieser Polynome zeigen soll. Vielleicht kann man bei a) einfach die Linearfaktorzerlegung bestimmen und zeigen, dass sie nur zusammen ein Polynom in [mm] \IQ[X] [/mm] ergeben.
In der Vorlesung hatten wir das Kriterium von Eisenstein, aber das ist wohl hier überhaupt nicht anwendbar, wies aussieht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Do 03.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeige, dass die folgenden Polynome in [mm]\IQ[X][/mm] irreduzibel
> sind.
>
> a) [mm]X^{2^{n}}+1[/mm] für [mm]n\in \IN[/mm]
> b)
> [mm]6*X^{4}+54*X^{3}+18*X^{2}-9*X+108[/mm]
> c) [mm]X^{4}+a^{2}[/mm] wobei [mm]a\in \IZ[/mm] ungerade ist
> d) [mm]f=X^{n}+a_{n-1}*X^{n-1}+a_{0}[/mm] mit [mm]a_{i}\in \IZ[X][/mm] und
> [mm]a_{0}\not=0[/mm]
> f habe die komplexen Nullstellen
> [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{n}[/mm] mit
> [mm]|\lambda_{1}|,...|\lambda_{n-1}|<1[/mm]
>
> Ich habe ehrlich gesagt nicht so richtig Ahnung, wie man
> Irreduzibilität dieser Polynome zeigen soll. Vielleicht
> kann man bei a) einfach die Linearfaktorzerlegung bestimmen
> und zeigen, dass sie nur zusammen ein Polynom in [mm]\IQ[X][/mm]
> ergeben.
Das ist bei c) vermutlich eine gute Vorgehensweise. Probier es doch mal aus.
Bei a) koennte es auch helfen; schau dir da mal an, was fuer Nullstellen das Polynom eigentlich hat, und denke an Kreisteilungspolynome / Anzahl der primitiven $k$-ten Einheitswurzeln und was das mit der Aufgabe zu tun hat.
Bei b) teil das ganze doch mal erst durch 3 und wende dann Eisenstein an.
Wenn $f$ bei d) reduzibel ist, kann man es als Produkt zweier Polynome mit Koeffizienten in [mm] $\IZ$ [/mm] schreiben. Eins davon hat nur Nullstellen [mm] $\lambda$ [/mm] mit [mm] $|\lambda| [/mm] < 1$. Jetzt schau dir den konstanten Term des Faktors an; was hat er mit den Nullstellen zu tun? Beachte, dass er ja in [mm] $\IZ$ [/mm] liegen muss.
LG Felix
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> Das ist bei c) vermutlich eine gute Vorgehensweise. Probier
> es doch mal aus.
>
> Bei a) koennte es auch helfen; schau dir da mal an, was
> fuer Nullstellen das Polynom eigentlich hat, und denke an
> Kreisteilungspolynome / Anzahl der primitiven [mm]k[/mm]-ten
> Einheitswurzeln und was das mit der Aufgabe zu tun hat.
>
> Bei b) teil das ganze doch mal erst durch 3 und wende dann
> Eisenstein an.
Aber dann ist das doch auch noch nicht anwendbar...
Der kleinste Koeffizient, der vom Primelement geteilt werden muss ist dann 3, aber der konstante Summand ist 36 und [mm] 3^{2}|36...
[/mm]
Und das kann man auch nicht in Linearfaktoren zerlegen (jedenfalls möchte ich das nicht bei der "Schönheit" der Nullstellen...)
Kann man da irgendwie anders Eisenstein anwendbar machen? Wir sollten das doch zumindest einmal verwenden müssen xD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 05.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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