Irreduzible Polynome < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom [mm] f(T):=T^{3} [/mm] + [mm] T^{2} [/mm] + 1 [mm] \in \IZ_{2} [/mm] [T].
a) Zeigen Sie, dass das Polynom [mm] f(T):=T^{3} [/mm] + [mm] T^{2} [/mm] + 1 [mm] \in \IZ_{2} [/mm] [T] irreduzibel ist.
Ferner Sei m [mm] \subset \IZ_{2} [/mm] [T] das von f in [mm] \IZ_{2} [/mm] [T] erzeugte Ideal und [mm] \IF_{8}:= \IZ_{2} [/mm] [T]/m der Körper mit 8 Elementen.
b) Zeigen Sie, dass [mm] (T^{2} [/mm] + T + 1) + m [mm] \in \IF_{8} [/mm] ein erzeugendes Element der multiplikativen Gruppe [mm] (\IF\*_{8},*) [/mm] ist.
c) Welche Ordnung hat das Element (T + 1) + [mm] m\in \IF_{8} [/mm] in der multiplikativen Gruppe [mm] (\IF\*_{8},* [/mm] )? |
Verstehe diese Komplete Aufgabe nicht.
Kann mir jemand helfen, diese Aufgabe zu verstehen.
Ich glaube zu wissen, das a) irreduzibel ist weil es keine Nullstellen besitzt. Habe das mal so gelesen und nichts verstanden.
Habe auch gelesen das man es anhand der Eisenstein Kriteriums lösen kann, aber auch nicht immer.
Verstehe es einfach nicht.
Bin am verzweifeln.
Bitte helft mir es zu verstehen am besten anhand eines Beispieles.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Verstehe diese Komplete Aufgabe nicht.
> Kann mir jemand helfen, diese Aufgabe zu verstehen.
> Ich glaube zu wissen, das a) irreduzibel ist weil es keine
> Nullstellen besitzt. Habe das mal so gelesen und nichts
> verstanden.
Ja in diesem Fall reicht das tatsächlich als Begründung, aber wieso? Was bedeutet es, dass ein Polynom irreduzibel ist?
> Habe auch gelesen das man es anhand der Eisenstein
> Kriteriums lösen kann, aber auch nicht immer.
> Verstehe es einfach nicht.
> Bin am verzweifeln.
> Bitte helft mir es zu verstehen am besten anhand eines
> Beispieles.
Die anderen Aufgaben sind im Prinzip bloß nachrechnen (hab ich jetzt selbst allerdings noch nicht gemacht).
Eigentlich müsste man für die b) natürlich zeigen dass[mm] \IZ_2\left[ T \right]/m [/mm] tatsächich der Körper mit 8 Elementen ist. So wie die Aufgabe gestellt ist, müsst ihr das nicht tun. Das erleichtert die Sache. Jetzt musst du dir klar machen wie die Multiplikation in [mm] \IZ_2\left[ T \right]/m [/mm] definiert ist, und was es bedeutet dass ein Element die multiplikative Gruppe erzeugt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> MfG
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> [mm]DARKMAN_X[/mm]
Beste Grüße,
Berieux
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