Irreduzible Polynome finden < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 21.04.2007 | | Autor: | epsilon1 |
| Aufgabe | | Man finde alle irreduzible Polynome in [mm] \IZ_{3}[x] [/mm] \ {0} von Grad höchstens zwei. |
Hallo.
Es gilt nun nach Voraussetzung K = {0,1,2} = [mm] \IZ_3. [/mm] Weiter gilt nun {p [mm] \in\IZ_3 [/mm] [x] | grad p = 1} = {x,x+1,x+2} und weiter {p [mm] \in\IZ_3 [/mm] [x] | grad p = 2} = { [mm] x^2,x^2+x,x^2+x+1,x^2+1,x^2+x+2,x^2+2 [/mm] }.
Nun muss man noch schauen, welche davon irreduzibel sind: [mm] {x,x+1,x+2,x^2+x+1,x^2+x+2,x^2+1}
[/mm]
Allerdings fehlen da doch noch welche? Mein Ü-Leiter meinte, dass es 8 sein sollen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Sa 21.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es gilt nun nach Voraussetzung K = {0,1,2} = [mm]\IZ_3.[/mm] Weiter
> gilt nun [mm]\{p \in\IZ_3 [x] | grad p = 1\} = \{x,x+1,x+2\}[/mm] und
> weiter [mm]\{p \in\IZ_3 [x] | grad p = 2\} = \{ x^2,x^2+x,x^2+x+1,x^2+1,x^2+x+2,x^2+2 \}[/mm].
>
> Nun muss man noch schauen, welche davon irreduzibel sind:
> [mm]\{x,x+1,x+2,x^2+x+1,x^2+x+2,x^2+1\}[/mm]
Wie kommst du dadrauf, dass [mm] $x^2 [/mm] + x + 1$ und [mm] $x^2 [/mm] + x + 2$ irreduzibel sind? Sie haben doch Nullstellen...
Zur Anzahl: Wenn $f [mm] \in \IZ_3[x]$ [/mm] irreduzibel ist, so auch $c f$ fuer jedes $c [mm] \in (\IZ_3)^* [/mm] = [mm] \{ 1, 2 \}$. [/mm] Also ist auch $2 x$, $2 x + 2$, $2 x + 1$, ... irreduzibel.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Sa 21.04.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Hallo. Danke für die schnelle Antwort, aber was haben denn [mm] x^2+x+1 [/mm] und [mm] x^2+x+2 [/mm] für Nullstellen? ich finde dort keine...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Sa 21.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo. Danke für die schnelle Antwort, aber was haben denn
> [mm]x^2+x+1[/mm] und [mm]x^2+x+2[/mm] für Nullstellen? ich finde dort
> keine...
Setz in das erste doch mal $1$ und in das zweite $2$ ein, und denk dran dass du in [mm] $\IZ_3$ [/mm] bist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 21.04.2007 | | Autor: | epsilon1 |
So ganz sind mein Kollege und ich uns noch nicht. Daher gibt es hier nochmal eine weitere Frage:
x ist irreduzibel
x + 1 ist nicht irreduzibel, da gilt 2 + 1 = 3 = 0
x + 2 ist nicht irreduzibel, da gilt 1 + 2 = 3 = 0
[mm] x^2 [/mm] + x ist irreduzibel
[mm] x^2 [/mm] + x + 1 ist nicht irreduzibel, da gilt [mm] 1^2 [/mm] + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 = 0
[mm] x^2 [/mm] + 1 ist irreduzibel
[mm] x^2 [/mm] + x + 2 ist irreduzibel
[mm] x^2 [/mm] + 2 ist nicht irreduzibel, da gilt [mm] 1^2 [/mm] + 2 = 1 + 2 = 3 = 0
2x ist irreduzibel
2x + 2 ist irreduzibel
2x + 1 ist nicht irreduzibel, da gilt 2*1 + 1 = 2 + 1 = 3 = 0
[mm] 2x^2 [/mm] + 1 ist irreduzibel
[mm] 2x^2 [/mm] + 2x + 1 ist irreduzibel
Das wären jetzt genau 8 Elemente, wie es mein Übungsleiter auch gesagt hat oder habe ich jetzt wieder irgendetwas übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Sa 21.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> So ganz sind mein Kollege und ich uns noch nicht. Daher
> gibt es hier nochmal eine weitere Frage:
>
> x ist irreduzibel
Ja.
> x + 1 ist nicht irreduzibel, da gilt 2 + 1 = 3 = 0
> x + 2 ist nicht irreduzibel, da gilt 1 + 2 = 3 = 0
Nein: Polynome von Grad 1 sind generell irreduzibel. Das Nullstellenkriterium gilt nur fuer Grad 2 und 3.
> [mm]x^2[/mm] + x ist irreduzibel
Nein, setz doch mal 2 ein.
> [mm]x^2[/mm] + x + 1 ist nicht irreduzibel, da gilt [mm]1^2[/mm] + 1 + 1 = 1
> + 1 + 1 = 3 = 0
Ja.
> [mm]x^2[/mm] + 1 ist irreduzibel
Ja.
> [mm]x^2[/mm] + x + 2 ist irreduzibel
Nein, setz x = 2 ein.
> [mm]x^2[/mm] + 2 ist nicht irreduzibel, da gilt [mm]1^2[/mm] + 2 = 1 + 2 = 3
> = 0
Ja.
> 2x ist irreduzibel
> 2x + 2 ist irreduzibel
Ja. (2x + 2 hat uebrigens die Nullstelle 2.)
> 2x + 1 ist nicht irreduzibel, da gilt 2*1 + 1 = 2 + 1 = 3
> = 0
Nein, siehe oben.
> [mm]2x^2[/mm] + 1 ist irreduzibel
Nein. Setz mal x = 1 oder x = 2 ein.
> [mm]2x^2[/mm] + 2x + 1 ist irreduzibel
Es ist genauso reduzibel wie [mm] $x^2 [/mm] + x + 2$.
Und wie schon gesagt: Ein Polynom $f [mm] \in \IZ_2[x]$ [/mm] ist genau dann irreduzibel, wenn $2 f$ irreduzibel ist. Damit brauchst du nur die Polynome zu untersuchen, die Leitkoeffizienten 1 haben. Die davon irreduziblen nimmst du und multiplizierst du mit 2, dann erhaelst du alle.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 21.04.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Super. Dann haben wir ja nun die irreduziblen Polynome...
x
x+1
x+2
[mm] x^2 [/mm] + 1
2x
2x + 2
2x + 1
[mm] x^2 [/mm] + x+ 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Sa 21.04.2007 | | Autor: | felixf |
> Super. Dann haben wir ja nun die irreduziblen Polynome...
>
> x
> x+1
> x+2
> [mm]x^2[/mm] + 1
> 2x
> 2x + 2
> 2x + 1
> [mm]x^2[/mm] + x+ 2
Hmm, [mm] $x^2 [/mm] + x + 2$ ist ja tatsaechlich irreduzibel. Hab mich auch verrechnet :)
Allerdings kommen dann noch $2 [mm] x^2 [/mm] + 2$ und $2 [mm] x^2 [/mm] + 2 x + 1$ hinzu, die sind dann ebenfalls irreduzibel, womit es 10 irreduzible Polynome von Grad [mm] $\le [/mm] 2$ in [mm] $\IZ_3[x]$ [/mm] gibt. Vielleicht hat sich dein Tutor vertan?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Sa 21.04.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Hallo.
Ich denke auch, dass sich mein Ü-Leiter verrechnet hat, da er diese Aufgabe einfach nur kurz im Kopf gerechnet hat und du siehst ja, dass man sich doch leicht dabei verrechnet ;)
Danke, aber erstmal für den Rest.
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