Irreduzibles Polynom < Krypt.+Kod.+Compalg. < Theoretische Inform. < Hochschule < Informatik < Vorhilfe
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Hallo 
also, folgende Frage:
Wie kann ich zeigen, dass [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 1 in [mm] Z_2 [/mm] irreduzibel ist?
Ich weiß, dass ein Polynom irreduzibel ist, wenn es sich nicht in kleinere Polynome zerlegen lässt.
Wie mache ich das im obigen Fall?
Liebe Grüße, ringo
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Hallo Ringo,
versuch doch mal das ![[]](/images/popup.gif) Eisensteinkriterium, achte aber darauf, dass Du Dich in [mm] \IZ_2 [/mm] bewegst.
Es wird sinnvoll sein, x in geeigneter Weise zu substituieren, etwa in der Form z=x-a mit "geschickt" gewähltem a.
Grüße
reverend
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Ok, vielen Dank.
Ich habe also heraus bekommen, dass es reduzibel ist, da es sich in zwei kleinere Polynome teilen lässt. Also genauer:
[mm] x^4+x^2+1 [/mm] = [mm] (x^2+x+1)*(x^2+x+1)
[/mm]
Und das bedeutet ja schon, dass das Polynom reduzibel ist.
Oder liege ich jetzt komplett falsch???
LG und DANKE
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Hallo Ringo,
> Ok, vielen Dank.
> Ich habe also heraus bekommen, dass es reduzibel ist, da
> es sich in zwei kleinere Polynome teilen lässt. Also
> genauer:
> [mm]x^4+x^2+1[/mm] = [mm](x^2+x+1)*(x^2+x+1)[/mm]
>
> Und das bedeutet ja schon, dass das Polynom reduzibel ist.
Das bedeutet es natürlich.
Allerdings hast Du da einen Tippfehler.
Es muss [mm] x^4+x^2+1=(x^2+x+1)*(x^2\red{-x}+1) [/mm] heißen.
> Oder liege ich jetzt komplett falsch???
> LG und DANKE
Übrigens gibt es über [mm] \IR [/mm] keine irreduziblen Polynome mit einem Grad [mm] \ge{3}. [/mm] Anders über [mm] \IQ [/mm] und, wie hier, über [mm] \IZ. [/mm] Da gibt es sie schon (siehe Eisenstein).
Grüße
reverend
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Vielen Dank für deine Denkanstöße!
LG
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