Irreduzibles Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $k$ ein Körper der Charakteristik $p>0.$ Betrachten Sie zu [mm] $a\in [/mm] k$
das Polynom [mm] $f_{a}=X^{p}-X-a\in [/mm] k[X].
Zeige: Besitzt [mm] f_a [/mm] in k keine Nullstelle, so ist [mm] f_a [/mm] irreduzibel in k[X]. |
Hallo,
den folgenden Beweis habe ich damals selbst geschrieben und er wurde auch für richtig befunden. Mitlerweile kann ich aber einen Schritt nicht mehr nachvollziehen. Vielleicht ist es trivial oder es ist einfach nur falsch.
Sei $P$ der Primkörper von $k.$ Sei [mm] $h\in [/mm] k[X]$
ein normiertes, irreduzibles Polynom mit [mm] $h|f_{a}.$ [/mm] Sei $K/k$ der
Zerfällungskörper von [mm] $f_{a}\Rightarrow\exists c\in [/mm] K:h(c)=0$ und
[mm] $f_{a}(c)=0.$ [/mm] Aus einem anderen Aufgabenteil wissen wir, Nullstellen von [mm] $f_{a}$ [/mm] haben die Form
$c+u$ mit [mm] $c\in [/mm] K$ und [mm] $u\in [/mm] P.$ Für [mm] $d:=\deg [/mm] h$ hat $h$ also genau $d$
Nullstellen der Form [mm] $c+u\in [/mm] K$ [mm] f\ür [/mm] gewisse [mm] $u\in [/mm] P.$ Nenne diese gewissen
$u$ im Folgenden [mm] $u_{i}$ [/mm] und schreibe [mm] $\alpha_{i}:=c+u_{i}.$ \newline [/mm] Dann
gilt:
[mm] h(X)=\prod_{i=1}^{d}(X-\alpha_{i})=X^{d}-\left( \sum_{i=1}^{d}\alpha
_{i}\right) X^{d-1}+...\in [/mm] k[X].
Es folgt also: [mm] $\sum_{i=1}^{d}\alpha_{i}=\sum_{i=1}^{d}(c+u_{i})=dc+\underset{=:z}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}u_{i}}}\in [/mm] k$ und da [mm] $z\in k\Rightarrow dc\in [/mm] k.$
Angenommen $h$ ist ein echter Teiler von [mm] $f_{a}\Rightarrow d=\deg h<\deg f_{a}=p.$ [/mm] Dann ist [mm] $0\neq dc\in [/mm] k.$ Da [mm] $c\notin [/mm] k$ sein soll [mm]\Rightarrow[/mm] d [mm]\in k[/mm] (diesen Folgerungspfeil kann ich wirklich nicht nachvollziehen) .
Dann gilt [mm] dc=a\in k\Rightarrow c=ad^{-1}\in [/mm] k. Was ein Widerspruch dazu ist, dass c als Nullstelle nicht in k sein soll. Daraus folgt h ist kein echter Teiler von [mm] f_a [/mm] (aber Teiler) also [mm] h=f_a.
[/mm]
Kann man diese Folgerung irgendwie begründen oder ist sie wirklich falsch? Mal angenommen sie ist falsch, kann man dann das Ende noch retten, sodass der Beweis in dieser Form insgesamt wieder richtig ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 21.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]k[/mm] ein Körper der Charakteristik [mm]p>0.[/mm] Betrachten Sie zu
> [mm]a\in k[/mm]
> das Polynom [mm]$f_{a}=X^{p}-X-a\in[/mm] k[X].
> Zeige: Besitzt [mm]f_a[/mm] in k keine Nullstelle, so ist [mm]f_a[/mm]
> irreduzibel in k[X].
>
> den folgenden Beweis habe ich damals selbst geschrieben und
> er wurde auch für richtig befunden. Mitlerweile kann ich
> aber einen Schritt nicht mehr nachvollziehen. Vielleicht
> ist es trivial oder es ist einfach nur falsch.
>
> Sei [mm]P[/mm] der Primkörper von [mm]k.[/mm] Sei [mm]h\in k[X][/mm]
> ein normiertes,
> irreduzibles Polynom mit [mm]h|f_{a}.[/mm] Sei [mm]K/k[/mm] der
> Zerfällungskörper von [mm]f_{a}\Rightarrow\exists c\in K:h(c)=0[/mm]
> und
> [mm]f_{a}(c)=0.[/mm] Aus einem anderen Aufgabenteil wissen wir,
> Nullstellen von [mm]f_{a}[/mm] haben die Form
> [mm]c+u[/mm] mit [mm]c\in K[/mm] und [mm]u\in P.[/mm] Für [mm]d:=\deg h[/mm] hat [mm]h[/mm] also genau
> [mm]d[/mm]
> Nullstellen der Form [mm]c+u\in K[/mm] [mm]f\ür[/mm] gewisse [mm]u\in P.[/mm] Nenne
> diese gewissen
> [mm]u[/mm] im Folgenden [mm]u_{i}[/mm] und schreibe [mm]\alpha_{i}:=c+u_{i}.[/mm]
> [mm]\newline[/mm] Dann
> gilt:
>
> [mm]h(X)=\prod_{i=1}^{d}(X-\alpha_{i})=X^{d}-\left( \sum_{i=1}^{d}\alpha
_{i}\right) X^{d-1}+...\in[/mm]
> k[X].
>
> Es folgt also:
> [mm]\sum_{i=1}^{d}\alpha_{i}=\sum_{i=1}^{d}(c+u_{i})=dc+\underset{=:z}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}u_{i}}}\in k[/mm]
> und da [mm]z\in k\Rightarrow dc\in k.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Angenommen [mm]h[/mm] ist ein echter Teiler von [mm]f_{a}\Rightarrow d=\deg h<\deg f_{a}=p.[/mm]
> Dann ist [mm]0\neq dc\in k.[/mm] Da [mm]c\notin k[/mm] sein soll [mm]\Rightarrow[/mm]
> d [mm]\in k[/mm] (diesen Folgerungspfeil kann ich wirklich nicht
> nachvollziehen) .
Der ist auch falsch: es folgt $d [mm] \not\in [/mm] k$, und das ist ein Widerspruch, da $d$ in $P$ liegt.
Oder anders: aus $d c [mm] \in [/mm] k$ und $0 [mm] \neq [/mm] d [mm] \in [/mm] k$ folgt $c = d c [mm] d^{-1} \in [/mm] k$, ein Widerspruch.
> Dann gilt [mm]dc=a\in k[/mm]
Warum ist das gleich $a$?!? Du meinst sicher ein anderes $a$ als das von oben!
> [mm]\Rightarrow c=ad^{-1}\in[/mm] k. Was ein
> Widerspruch dazu ist, dass c als Nullstelle nicht in k sein
> soll. Daraus folgt h ist kein echter Teiler von [mm]f_a[/mm] (aber
> Teiler) also [mm]h=f_a.[/mm]
>
> Kann man diese Folgerung irgendwie begründen oder ist sie
> wirklich falsch? Mal angenommen sie ist falsch, kann man
> dann das Ende noch retten, sodass der Beweis in dieser Form
> insgesamt wieder richtig ist?
Da sollte wohl [mm] "$\not\in$" [/mm] stehen, und das ist der Widerspruch. Der Beweis ist ansonsten korrekt.
LG Felix
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Hallo,
> Oder anders: aus [mm]d c \in k[/mm] und [mm]0 \neq d \in k[/mm] folgt [mm]c = d c d^{-1} \in k[/mm],
> ein Widerspruch.
>
So hätte es wohl aussehen sollen. Allerdings ist mir immer noch nicht klar, warum denn d überhaupt in k liegt bzw warum in P. Woran sieht man das? Nur weil d<p ist, muss es doch noch nicht in P drin sein.
> > Dann gilt [mm]dc=a\in k[/mm]
>
> Warum ist das gleich [mm]a[/mm]?!? Du meinst sicher ein anderes [mm]a[/mm]
> als das von oben!
>
> > [mm]\Rightarrow c=ad^{-1}\in[/mm] k. Was ein
> > Widerspruch dazu ist, dass c als Nullstelle nicht in k sein
> > soll. Daraus folgt h ist kein echter Teiler von [mm]f_a[/mm] (aber
> > Teiler) also [mm]h=f_a.[/mm]
> >
> > Kann man diese Folgerung irgendwie begründen oder ist sie
> > wirklich falsch? Mal angenommen sie ist falsch, kann man
> > dann das Ende noch retten, sodass der Beweis in dieser Form
> > insgesamt wieder richtig ist?
>
> Da sollte wohl "[mm]\not\in[/mm]" stehen, und das ist der
> Widerspruch. Der Beweis ist ansonsten korrekt.
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:38 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo,
> > Oder anders: aus [mm]d c \in k[/mm] und [mm]0 \neq d \in k[/mm] folgt [mm]c = d c d^{-1} \in k[/mm],
> > ein Widerspruch.
> >
> So hätte es wohl aussehen sollen. Allerdings ist mir immer
> noch nicht klar, warum denn d überhaupt in k liegt bzw
> warum in P. Woran sieht man das? Nur weil d<p ist, muss es
> doch noch nicht in P drin sein.
Nun, $d$ selber liegt nicht in $K$, sondern in [mm] $\IZ$. [/mm] Schliesslich ist $d c$ eine Abkuerzung fuer $c + c + [mm] \dots [/mm] + c$ ($d$-mal). Wenn du jedoch $d$ bzgl. des kanonischen (und eindeutigen!) Homomorphismus [mm] $\pi [/mm] : [mm] \IZ \to [/mm] P [mm] \to [/mm] K$ als Element von $K$ auffasst, ist $d c$ gleich [mm] $\pi(d) [/mm] c$. Und [mm] $\pi(d) \in [/mm] P$ ist invertierbar, wenn $0 < d < p$ ist. Und da man nicht gerne [mm] $\pi(d)$ [/mm] schreibt, schreibt man einfach $d$ fuer [mm] $\pi(d)$.
[/mm]
Du schreibst ja auch nicht [mm] $\pi(2)$, [/mm] wenn du $1 + 1$ in einem Koerper meinst, sondern 2.
LG Felix
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Ok. In Körpern ist es ja richtig die Multiplikation als Addition aufzufassen, so wie du gesagt hast. Was ist aber wenn ich einen Ring habe, der nicht kommutativ ist. Dann wäre ja ab=b+b+b...+b entsprechend a mal aber genauso a+a+a...+a b-mal. Wenn ich das so auffasse ist das doch aber das gleiche wie ba, was dann nicht sein darf. Oder sagt man dann einfach, dass ab=b+b+...+b a-mal und ba=a+a+...+a b-mal ist?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok. In Körpern ist es ja richtig die Multiplikation als
> Addition aufzufassen, so wie du gesagt hast.
Vorsicht! Es geht hier um die Multiplikation mit Elementen aus [mm] $\IZ$! [/mm] Nicht mit Elementen aus dem Koerper!
> Was ist aber
> wenn ich einen Ring habe, der nicht kommutativ ist. Dann
> wäre ja ab=b+b+b...+b entsprechend a mal aber genauso
> a+a+a...+a b-mal. Wenn ich das so auffasse ist das doch
> aber das gleiche wie ba, was dann nicht sein darf.
Wenn $a$ und $b$ beide aus [mm] $\IZ$ [/mm] sind, ist das sehr wohl so. Warum darf denn gar nichts kommutieren? Es ist ja z.B. auch $1 [mm] \cdot [/mm] 1 = 1 [mm] \cdot [/mm] 1$ (mit den beiden Einsen vertauscht).
> Oder sagt man dann einfach, dass ab=b+b+...+b a-mal und
> ba=a+a+...+a b-mal ist?
Wenn $a$ und $b$ aus [mm] $\IZ$ [/mm] sind, ja. Ansonsten macht das keinen Sinn.
LG Felix
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