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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Do 13.12.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | | Zeige, dass es genau [mm] $\frac{p(p-1)}{2}$ [/mm] normierte, irreduzible Polynome von Grad 2 in [mm] $\IZ_p[x]$ [/mm] gibt. |
Hallo,
ich kann mir hier zunächst doch auch folgendes überlegen:
Normierte Polynome vom grad 2 haben die Form [mm] $x^2 [/mm] + ax+b$. Das bedeutet, dass es in [mm] $\IZ_p$ [/mm] für a und b je p Einsetzmöglichkeiten gibt, das heißt es gibt [mm] $p^2$ [/mm] normierte Polynome vom Grad 2 insgesamt.
Jetzt soll ich also zeigen, dass davon [mm] $\frac{p(p-1)}{2}$ [/mm] irreduzibel sind. Dann kann ich ja auch zeigen, dass genau [mm] $\frac{p(p+1)}{2}$ [/mm] reduzibel sind, da [mm] $\frac{p(p+1)+p(p-1)}{2}=\frac{p(2p)}{2}=p^2$.
[/mm]
Also überlege ich mir, welche Polynome [mm] $x^2+ax+b$ [/mm] reduzibel sind in [mm] $\IZ_p[x]$. [/mm] Das sind schon mal alle mit $b=0$, also p Stück, da a bel.
Ist $a=0$ so muss $b=k(p-k)$ sein, damit das Polynom reduzibel ist. Denn [mm] $x^2+0x+k(p-k) \equiv x^2 [/mm] + px + k(p-k) = [mm] x^2 [/mm] +(p-k+k)x + k(p-k) = (x+k)(x+p-k)$.
Da ich die Elemente nicht doppelt zählen darf (z.B. in [mm] $\IZ_3$ [/mm] ist 1+2=3=2+1), nehme ich an, dass es [mm] $\frac{p-1}{2}$ [/mm] reduzible Polynome dieser Art gibt.(Alle Elemente von 1 bis [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] haben unterschiedliche Inverse, Bsp [mm] $\IZ_5$, [/mm] die Elemente 1 und 2 haben die Inversen 4 und 3.)
Damit wäre ich bei $p + [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] = [mm] \frac{3p-1}{2}$ [/mm] reduziblen Polynomen.
Es fehlen noch diejenigen mit [mm] $a\neq [/mm] 0$ und [mm] $b\neq [/mm] 0$. Da weiß ich aber nicht, wie ich mir die am besten überlege. Es gibt ja [mm] $(p-1)^2$ [/mm] viele dieser Art. Wieviele aber sind davon reduzibel??
Also, über eine Fortführung meines Ansatzes oder eine andere Idee das Problem anzugehen wäre ich erfreut 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Do 13.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
also ich würde folgenden weg vorschlagen. überlege dir, dass alle reduziblen, normierten polynome vom grad $2$ sich darstellen lassen als [mm] $(x-x_1)(x-x_2)$ [/mm] mit [mm] $x_i \in \mathbb{Z}_p$. [/mm] überlege dir nun wieviele verschiedene solche polynome es gibt (man muss nur aufpassen, dass man bestimmte polynome dnicht doppelt zählt, das heißt man erhält das selbe polynom, wenn man [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] vertaucht. wenn du korrekt abzählst, solltest du gerade die summe aller natürlichen zahlen von $p$ bis $1$ erhalten und das ist dann...
grüße
andreas
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