Irreduziblität < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 10.02.2013 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] f=x^4+4x^3+4x^2+1 \in \IR[x] [/mm] irreduzibel ist. Über welchen Köerpern ist es noch irreduzibel? |
Also, was mich hier verwirrt, ist dass man Irreduziblität über [mm] \IR[x] [/mm] nachweisen muss.
Für mich macht deshalb dann auch die 2. Frage keinen wirklichen Sinn mehr, was über R irreduzibel ist, ist doch auch erst recht über Q und Z irreduzibel, oder?
Ich hab jetzt erst mal versucht, die Irreduzibliät über Z zu zeigen: Also f hat keine (ganzzahligen) Nullstellen, Eisenstein geht nicht, also hab ich mal substitution versucht mit x --> (x+1)
Modulo Rechenfehler erhalte ich:
[mm] x^4+8x^3+22x^2+24x+10 [/mm] --> Eisenstein mit p=2, also ist f irred über Z und nach Gauß über Q. Wie soll ich jetzt aber noch zeigen, dass das auch über [mm] \IR [/mm] irred ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Mach es einfach mit den guten, alten Analysismethoden. Gegen [mm] \pm\infty [/mm] haut dir dein f gegen [mm] \infty [/mm] ab. Also musst du nur noch schauen, wo das globale Minimum angenommen wird (mit Ableiten etc.). Damit kannst du das ganz einfach zeigen.
Damit ist f auch irreduzibel über alle Teilkörper von [mm] \IR, [/mm] insbesondere [mm] \IQ. \IZ [/mm] brauchst du nicht beachten, da [mm] \IZ [/mm] ja kein Körper ist. Nun könnte es noch sein, dass f noch über größere Körper als [mm] \IR [/mm] irreduzibel ist.
Ist f denn z.B. über [mm] \IC [/mm] auch irreduzibel? Und welche Zwischenkörper von [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] gibt es noch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 10.02.2013 | | Autor: | Trikolon |
Erstmal danke für die schnelle Antwort!
Das Problem ist aber, dass es sich um eine Algebra-Vorlesung handelt und wir keine Analysis-Methoden (Ableiten, Extrema) benutzen dürfen / sollen. Die Aufgabe soll also mit Methoden der Algebra gelöst werden. Deshalb hatte ich das mit der Substitution versucht. Aber das liefert halt nur die Irreduziblität über Z und Q....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Hm, ansonsten würde ich einfach die Ansätze
[mm] f=(X+a)*(X^3+b*X^2+c*X+d)
[/mm]
und
[mm] f=(X^2+a*X+b)*(X^2+c*X+d) [/mm] machen und zeigen, dass diese keine Lösungen für a,b,c,d liefern (über [mm] \IR). [/mm] Dazu müsstest du dann also 2 Gleichungssysteme lösen. Wie schwer diese zu lösen sind, weil ich gerade nicht, aber es sollte zu machen sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 10.02.2013 | | Autor: | Trikolon |
Ok, das müsste auf jeden Fall auch gehen.
Ich greife trotzdem nochmal auf meine Substitutions-Idee zurück:
Definiere Isomorphismus [mm] \pi: \IR[x] [/mm] --> [mm] \IR[x], [/mm] x --> x+1. Also f ist irred [mm] \gdw \pi [/mm] (f) ist irred.
[mm] \pi [/mm] (f) = f(x+1)= [mm] x^4+8x^3+22x^2+24x+10
[/mm]
Eisenstein mit p=2 liefert Irreduziblität von f in [mm] \IR[x]. [/mm] (Denn IR[x] ist ja ein faktorieller Ring, also kann man ja Eisenstein anwenden....)
Was haltet ihr davon?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Nein, so geht das leider nicht. Zum Beispiel sagt Eisenstein zu [mm] X^2-2 [/mm] auch, dass es irreduzibel wäre. Das gilt allerdings nur über [mm] \IQ[X] [/mm] und [mm] \IZ[X]. [/mm] In [mm] \IR [/mm] besitzt es wohl die Zerlegung [mm] (X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2}).
[/mm]
Das Problem ist, dass du für Eisenstein Primelemente über den Grundring brauchst. Über [mm] \IZ [/mm] geht das natürlich. Aber [mm] \IR [/mm] hat überhaupt gar keine Primelemente! Denn Primelemente müssen nach Definition ungleich 0 und Einheiten sein. Aber mehr Elemente haben Körper ja nicht zu bieten.
Über [mm] \IQ [/mm] klappt das ganze wegen einem Lemma von Gauß auch, da f irreduzibel über [mm] \IZ \gdw [/mm] f irredizibel über [mm] \IQ [/mm] (falls f normiert).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 So 10.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass [mm]f=x^4+4x^3+4x^2+1 \in \IR[x][/mm] irreduzibel
> ist. Über welchen Köerpern ist es noch irreduzibel?
> Also, was mich hier verwirrt, ist dass man Irreduziblität
> über [mm]\IR[x][/mm] nachweisen muss.
Dieses Polynom ist nicht ueber [mm] $\IR$ [/mm] irreduzibel! Der Fundamentalsatz der Algebra besagt (ueber [mm] $\IR$), [/mm] dass die irreduziblen Polynome ueber [mm] $\IR$ [/mm] hoechstens Grad 2 haben!
Gemeint ist vermutlich irreduzibel ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Und das hast du mit Eisenstein + Gauss gezeigt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ups, du hast natürlich Recht. :) Das hatte ich gerade gar nicht im Blick.
|
|
|
|
