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Forum "Algebra" - Irreduziblität Polynom
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Irreduziblität Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Sa 01.06.2013
Autor: Gnocchi

Aufgabe
Für welche a [mm] \in \IZ [/mm] ist das Polynom f = [mm] t^4+ at^3 [/mm] + [mm] t^2 [/mm] + t + 1 [mm] \in \IQ[/mm]  [t] in [mm] \IQ[/mm] [t] reduzibel?

Hab nun folgende Fälle:
1) a ungerade, dafür ist es irreduzibel
2)i) a<3:Dort ist es für a=2 reduzibel für a=0 und a=1 irreduzibel
ii) a>3:
wollte da nun die Fälle
a=1(mod 3), a=2(mod 3) und a=0(mod 3) betrachten.
Für a=1(mod 3) habe ich bereits gezeigt, dass es auch irreduzibel ist, bei a=2(mod 3) und a=0(mod 3) komme ich nicht weiter, weil ich dort die Reduziblität nicht ausgeschlossen bekomme.
Weiß da jemand weiter?


        
Bezug
Irreduziblität Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Sa 01.06.2013
Autor: felixf

Moin!

> Für welche a [mm]\in \IZ[/mm] ist das Polynom f = [mm]t^4+ at^3[/mm] + [mm]t^2[/mm] +
> t + 1 [mm]\in \IQ[/mm]  [t]in [mm]\IQ[/mm] [t]reduzibel?
>
>  Hab nun folgende Fälle:
>  1) a ungerade, dafür ist es irreduzibel

Du hast das vermutlich modulo 2 gemacht, oder? Und gezeigt dass es dort weder eine Nullstelle hat noch das Produkt zweier irreduzibler quadratischer Faktoren ist?

>  2)i) a<3:Dort ist es für a=2 reduzibel für a=0 und a=1 irreduzibel

Und was ist mit negativen Werten von $a$?

>  ii) a>3:
>  wollte da nun die Fälle
>  a=1(mod 3), a=2(mod 3) und a=0(mod 3) betrachten.
>  Für a=1(mod 3) habe ich bereits gezeigt, dass es auch irreduzibel ist, bei a=2(mod 3) und a=0(mod 3) komme ich nicht weiter, weil ich dort die Reduziblität nicht ausgeschlossen bekomme.
>  Weiß da jemand weiter?

Ich wuerd etwas anders anfangen. Zuerst mal der Fall, dass $f$ einen Linearfaktor hat. Dieser muss in [mm] $\IZ$ [/mm] sein und das Konstante Glied 1 teilen, womit nur [mm] $\pm [/mm] 1$ in Frage kommt. Man sieht schnell, dass $f$ nur dann eine Nullstelle in [mm] $\IQ$ [/mm] haben kann, wenn $a [mm] \in \{ 2, -4 \}$ [/mm] ist.

Dann schreibe $f = [mm] (x^2 [/mm] + b x + c) [mm] (x^2 [/mm] + d x + e)$ mit $b, c, d, e [mm] \in \IZ$; [/mm] laut Gauss muss die Faktorisierung diese Form haben wenn $f$ nicht irreduzibel ist und auch keine Nullstellen in [mm] $\IQ$ [/mm] hat. Man kann jetzt mit Ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich und ein paar Umformungen herausfinden, dass $c e = 1$ sein muss und somit $c = e$ ist, und dass $a = c = e = [mm] \pm [/mm] 1$ sein muss. Damit gibt es zwei Faelle, die man untersuchen muss, und in beiden sieht man modulo 2, dass es irreduzibel ist.

LG Felix


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