Irrfahrt, Verteilung min.Zeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Fr 29.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Bezüglich Irrfahrt haben wir definiert
[mm] T_a [/mm] = min [mm] \{ n \ge 1 : S_n (\omega)=a) \}, [/mm] a [mm] \in \IR
[/mm]
Satz (Verteilung von [mm] T_a) [/mm]
Für a>0
[mm] P(T_a \le [/mm] n ) = [mm] P(S_n [/mm] = a) + 2 [mm] P(S_n [/mm] >a) = 2 [mm] P(S_n \not\in [/mm] (-a,a])
Die haben wir mittels den Reflexionsprinzip: a>0 , b<a
[mm] P(T_a \le [/mm] n, [mm] S_n [/mm] =b )= [mm] P(S_n [/mm] = 2a-b) folgendermaßen bewiesen:
[mm] P(T_a \le [/mm] n) = [mm] \sum_{b\in \IR} P(T_a \le [/mm] n , [mm] S_n [/mm] = [mm] b)=\sum_{b\ge a} P(S_n=b) [/mm] + [mm] \sum_{b
Frage 1:
Wie kann man a>0 durch a [mm] \not=0 [/mm] ersetzten?
Frage 2:
Warum folgt daraus:
[mm] P(T_a [/mm] > n)= [mm] P(S_n \in [/mm] (-a ,a])
Es ist schon klar, dass das Komplement gebildet wird aber warum verschwindet hier die 2 davor?
Frage 3:
> $ [mm] P(S_n \ge [/mm] $ a) + $ [mm] P(S_n [/mm] $ >a) = $ [mm] 2P(S_n [/mm] $ >a) + $ [mm] P(S_n [/mm] $ =a)
Warum darf man das so einfach "auseinanderziehen"? |
Allgemein zu unserer definition von Irrfahrt:
Grundraum $ [mm] \Omega [/mm] $ = $ [mm] \{ \omega =(\omega_1 ,.., \omega_N): \omega_i \in \{+1,-1\}, i=1,..,N\} [/mm] $
P-Gleichverteilung
Zuvallsvaribalen $ [mm] X_i(\omega)= \omega_i [/mm] $ ,i=1,..,N
$ [mm] S_k (\omega) [/mm] $ = $ [mm] \sum_{i=1}^k X_i (\omega) [/mm] $
$ [mm] S_o (\omega) [/mm] $ =0 (Startposition)
k-> $ [mm] S_k [/mm] $ heißt einfache Irrfahrt mit N Perioden.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Sa 30.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Bezüglich Irrfahrt haben wir definiert
> [mm]T_a[/mm] = min [mm]\{ n \ge 1 : S_n (\omega)=a) \},[/mm] a [mm]\in \IR[/mm]
Wohl eher [mm] $a\in\IZ$, [/mm] oder?
Habt ihr erklärt, wie [mm] $T_a(\omega)$ [/mm] definiert sein soll, falls kein [mm] $n\in\{1,\ldots,N\}$ [/mm] mit [mm] $S_n(\omega)=a$ [/mm] existiert?
> Satz (Verteilung von [mm]T_a)[/mm]
> Für a>0
Spätestens hier sollte zusätzlich [mm] $a\in\IZ$ [/mm] vorausgesetzt werden.
> [mm]P(T_a \le[/mm] n ) = [mm]P(S_n[/mm] = a) + 2 [mm]P(S_n[/mm] >a) = 2 [mm]P(S_n \not\in[/mm]
> (-a,a])
Die hintere 2 ist ersatzlos zu streichen.
> Die haben wir mittels den Reflexionsprinzip: a>0 , b<a
> [mm]P(T_a \le[/mm] n, [mm]S_n[/mm] =b )= [mm]P(S_n[/mm] = 2a-b) folgendermaßen
> bewiesen:
> [mm]P(T_a \le[/mm] n) = [mm]\sum_{b\in \IR} P(T_a \le[/mm] n , [mm]S_n[/mm] =
> [mm]b)=\sum_{b\ge a} P(S_n=b)[/mm] + [mm]\sum_{b
> ) = [mm]\sum_{b\ge a} P(S_n=b)[/mm] + [mm]\sum_{b
> [mm]P(S_n \ge[/mm] a) + [mm]P(S_n[/mm] >a) = [mm]2P(S_n[/mm] >a) + [mm]P(S_n[/mm] =a) = [mm]P(S_n[/mm]
> >a) + [mm]P(S_n[/mm] < -a) + [mm]P(S_n=a)[/mm]
> Frage 1:
> Wie kann man a>0 durch a [mm]\not=0[/mm] ersetzten?
Für $a<0$ gilt [mm] $P(T_a \le [/mm] n [mm] )=P(T_{-a}\le [/mm] n) = [mm] P(S_n [/mm] = -a) + 2 [mm] P(S_n [/mm] >-a) = [mm] P(S_n \not\in [/mm] (a,-a])$.
Zusammenfassen lassen sich die beiden Fälle $a<0$ und $a>0$ durch [mm] $P(T_a \le [/mm] n ) = [mm] P(S_n [/mm] = |a|) + 2 [mm] P(S_n [/mm] >|a|) = [mm] P(S_n \not\in [/mm] (-|a|,|a|])$.
Dass für [mm] $a\not=0$ [/mm] tatsächlich [mm] $P(T_a\le n)=P(T_{-a}\le [/mm] n)$ gilt, ist anschaulich relativ klar aufgrund der "Symmetrie" der Irrfahrt.
Zum formalen Nachweis kann man die wohldefinierte Bijektion (!) [mm] $f\colon\{T_a\le n\}\to\{T_{-a}\le n\}, (\omega_1,\ldots,\omega_N)\mapsto (-\omega_1,\ldots,-\omega_N)$ [/mm] betrachten.
> Frage 2:
> Warum folgt daraus:
> [mm]P(T_a[/mm] > n)= [mm]P(S_n \in[/mm] (-a ,a])
> Es ist schon klar, dass das Komplement gebildet wird aber
> warum verschwindet hier die 2 davor?
Die 2 war wie oben bemerkt bereits falsch.
> Frage 3:
> > [mm]P(S_n \ge[/mm] a) + [mm]P(S_n[/mm] >a) = [mm]2P(S_n[/mm] >a) + [mm]P(S_n[/mm] =a)
> Warum darf man das so einfach "auseinanderziehen"?
[mm] $\{S_n\ge a\}$ [/mm] ist die disjunkte Vereinigung von [mm] $\{S_n>a\}$ [/mm] und [mm] $\{S_n=a\}$. [/mm] Somit liefert die Additivität von $P$, dass [mm] $P(S_n\ge a)=P(S_n>a)+P(S_n=a)$ [/mm] gilt. Durch Addition von [mm] $P(S_n>a)$ [/mm] auf beiden Seiten folgt die von dir angesprochene Gleichung.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Sa 30.03.2013 | | Autor: | sissile |
> Zum formalen Nachweis kann man die wohldefinierte Bijektion (!) $ [mm] f\colon\{T_a\le n\}\to\{T_{-a}\le n\}, (\omega_1,\ldots,\omega_N)\mapsto (-\omega_1,\ldots,-\omega_N) [/mm] $ betrachten.
Hallo
Die [mm] (\omega_1,\ldots,\omega_N) [/mm] verstehe ich hier als ein Pfad, wobei [mm] \omega_i \in \{+1,-1\} \forall [/mm] i [mm] \in \{1,..,N\}
[/mm]
ALso sind die [mm] (-\omega_1,\ldots,-\omega_N) [/mm] jeweils der Schritt in die "andere" Richtung.
Wenn ich mir die beiden Pfade in einen Koordinatensystem vorstelle entsprechen die einer Spiegelung am Niveau 0.
Wenn gilt : [mm] S_i (\omega)= [/mm] a für [mm] \omega [/mm] = [mm] (\omega_1,\ldots,\omega_N) [/mm] mit i [mm] \in \{1,..,N\}
[/mm]
Dann ist [mm] S_i (\omega' [/mm] )= -a für [mm] \omega' [/mm] = [mm] (-\omega_1,\ldots,-\omega_N) [/mm] mit i [mm] \in \{1,..,N\}
[/mm]
Oder meinst du das anders? Wüsste nicht wie ich das besser aufschreiben soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Sa 30.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Zum formalen Nachweis kann man die wohldefinierte Bijektion
> (!) [mm]f\colon\{T_a\le n\}\to\{T_{-a}\le n\}, (\omega_1,\ldots,\omega_N)\mapsto (-\omega_1,\ldots,-\omega_N)[/mm]
> betrachten.
>
> Die [mm](\omega_1,\ldots,\omega_N)[/mm] verstehe ich hier als ein
> Pfad, wobei [mm]\omega_i \in \{+1,-1\} \forall[/mm] i [mm]\in \{1,..,N\}[/mm]
Ja, [mm] $\{T_a\le n\}$ [/mm] ist ja eine abkürzende Schreibweise für [mm] $\{\omega\in\Omega\;|\;T_a(\omega)\le n\}$.
[/mm]
> ALso sind die [mm](-\omega_1,\ldots,-\omega_N)[/mm] jeweils der
> Schritt in die "andere" Richtung.
>
> Wenn ich mir die beiden Pfade in einen Koordinatensystem
> vorstelle entsprechen die einer Spiegelung am Niveau 0.
>
> Wenn gilt : [mm]S_i (\omega)=[/mm] a für [mm]\omega[/mm] =
> [mm](\omega_1,\ldots,\omega_N)[/mm] mit i [mm]\in \{1,..,N\}[/mm]
> Dann ist
> [mm]S_i (\omega'[/mm] )= -a für [mm]\omega'[/mm] =
> [mm](-\omega_1,\ldots,-\omega_N)[/mm] mit i [mm]\in \{1,..,N\}[/mm]
Alles korrekt.
> Oder meinst du das anders? Wüsste nicht wie ich das besser
> aufschreiben soll.
Ich würde es so machen:
(Ich schreibe im Folgenden [mm] $f_a$ [/mm] für die Abbildung, die ich bisher einfach mit f bezeichnet habe.)
Wohldefiniertheit von [mm] $f_a$, [/mm] d.h. [mm] $(-\omega_1,\ldots,-\omega_N)\in\{T_{-a}\le n\}$ [/mm] für alle [mm] $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_N)\in\{T_a\le n\}$. [/mm] Sei also [mm] $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_N)\in\{T_a\le n\}$, [/mm] d.h. [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] und [mm] $T_a(\omega)\le [/mm] n$. Wegen [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] gilt [mm] $\omega_1,\ldots,\omega_N\in\{+1,-1\}$ [/mm] und damit [mm] $-\omega_1,\ldots,-\omega_N\in\{+1,-1\}$, [/mm] also [mm] $(-\omega_1,\ldots,-\omega_N)\in\Omega$. [/mm] Wegen [mm] $T_{-a}((-\omega_1,\ldots,-\omega_N))=\operatorname{min}\{m\ge 1\;|\;\underbrace{S_m((-\omega_1,\ldots,-\omega_N))}_{=-\omega_1+\ldots+(-\omega_m)}=-a\}=\operatorname{min}\{m\ge1\;|\;\underbrace{\omega_1+\ldots+\omega_m}_{=S_m(\omega)}=a\}\le [/mm] n$ gilt somit [mm] $(-\omega_1,\ldots,-\omega_N)\in\{T_{-a}\le n\}$, [/mm] was zu zeigen war.
Die Bijektivität von [mm] $f_a$ [/mm] lässt sich explizit nachrechnen oder folgt aus [mm] $f_a\circ f_{-a}=\operatorname{id}_{\{T_{-a}\le n\}}$ [/mm] und [mm] $f_{-a}\circ f_a=\operatorname{id}_{\{T_a\le n\}}$.
[/mm]
Wegen der damit bewiesenen Existenz einer bijektiven Abbildung [mm] $\{T_a\le n\}\to\{T_{-a}\le n\}$ [/mm] gilt [mm] $P(T_a\le n)=\frac{|\{T_a\le n\}|}{|\Omega|}=\frac{|\{T_{-a}\le n\}|}{|\Omega|}=P(T_{-a}\le [/mm] n)$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Sa 30.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich muss lernen das auch so aufzuschreiben !! Das sieht so "schön" aus ;)
Eine kleine Frage dazu:
> $ [mm] f_a\circ f_{-a}=\operatorname{id}_{\{T_{-a}\le n\}} [/mm] $
Was bedeutet denn eine Komposition von zwei Pfaden?
Einfacher finde ich:
Sei [mm] (s_1 ,..,s_N [/mm] ) beliebigfer Pfad mit [mm] s_i \in \{1,-1\} [/mm] für i [mm] \in \{0,..,N\} [/mm] dann [mm] \exists [/mm] ! Pfad [mm] (-s_1 ,..,-s_N [/mm] )
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Sa 30.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]f_a\circ f_{-a}=\operatorname{id}_{\{T_{-a}\le n\}}[/mm]
> Was
> bedeutet denn eine Komposition von zwei Pfaden?
[mm] $f_a$ [/mm] und [mm] $f_{-a}$ [/mm] sind in der von mir verwendeten Notation keine Pfade, sondern Abbildungen [mm] $f_a\colon\{T_a\le n\}\to\{T_{-a}\le n\}$ [/mm] bzw. [mm] $f_{-a}\colon\{T_{-a}\le n\}\to\{T_{-(-a)}\le n\}$.
[/mm]
> Einfacher finde ich:
> Sei [mm](s_1 ,..,s_N[/mm] ) beliebigfer Pfad mit [mm]s_i \in \{1,-1\}[/mm]
> für i [mm]\in \{0,..,N\}[/mm]
Nicht [mm] $(s_1,\ldots,s_N)\in\{T_a\le n\}$ [/mm] oder Ähnliches?
> dann [mm]\exists[/mm] ! Pfad [mm](-s_1 ,..,-s_N[/mm] )
Was möchtest du damit begründen? Meinst du eventuell etwas anderes als du schreibst?
Übrigens sollte das mit der Bijektion nur eine Möglichkeit sein, den Fall a<0 auf den Fall a>0 zurückzuführen. Alternativ hätte man auch den Beweis für den Fall a<0 auch analog zum Beweis im Falle a>0 führen können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Sa 30.03.2013 | | Autor: | sissile |
Ich meinte:
Sei $ [mm] (s_1 ,..,s_N [/mm] $ [mm] )\in\{T_{-a} \le n\} [/mm] ein beliebiger Pfad mit $ [mm] s_i \in \{1,-1\} [/mm] $ für i $ [mm] \in \{0,..,N\} [/mm] $
Dann finde ich einen eindeutigen Pfad der in [mm] \{T_{a} \le n\} [/mm] liegt und auf [mm] (s_1 ,..,s_N [/mm] ) abgebildet wird..
(die Eindeutigkeit würde mir die Injektivität begründen und die Existenz die Surjektivität)
Der Eindeutige Pfad: [mm] (-s_1 ,..,-s_N [/mm] )
[mm] (-s_1 ,..,-s_N [/mm] ) [mm] \in \{T_{a} \le n\} [/mm]
(Beweis ist analog zu der wohldefeniertheit)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 So 31.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich meinte:
> Sei [mm](s_1 ,..,s_N[/mm] [mm])\in\{T_{-a} \le n\}[/mm] ein beliebiger Pfad
> mit [mm]s_i \in \{1,-1\}[/mm] für i [mm]\in \{0,..,N\}[/mm]
>
> Dann finde ich einen eindeutigen Pfad der in [mm]\{T_{a} \le n\}[/mm]
> liegt und auf [mm](s_1 ,..,s_N[/mm] ) abgebildet wird..
> (die Eindeutigkeit würde mir die Injektivität begründen
> und die Existenz die Surjektivität)
> Der Eindeutige Pfad: [mm](-s_1 ,..,-s_N[/mm] )
> [mm](-s_1 ,..,-s_N[/mm] ) [mm]\in \{T_{a} \le n\}[/mm]
> (Beweis ist analog zu der wohldefeniertheit)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 So 31.03.2013 | | Autor: | sissile |
Gut, danke.
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