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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
a) Für alle $g [mm] \in [/mm] G$ ist die Abbildung [mm] $c_g [/mm] : G [mm] \rightarrow [/mm] G;~~ h [mm] \rightarrow ghg^{-1}$ [/mm] ein Isomorphismus von Gruppen.
b) Die Abbildung $ c: G [mm] \rightarrow [/mm] Sym(G); g [mm] \rightarrow c_g$ [/mm] ist ein Homomorphismus von Gruppen.
c) $G$ ist genau dann kommutativ wenn $c$ konstante Abbildung ist. |
hi
ich habe gerade die ersten 3 Vorlesungen in Algebra hinter mir und muss gestehen dass ich mit der Materie noch nicht so recht klar komme - v.a. mit dieser Aufgabe hier. Ich habe ein bisschen was versucht, aber ob das irgendwie Sinn macht weiß ich nicht so recht 
a) sei $k [mm] \in [/mm] G$
[mm] $c_g [/mm] (h) [mm] \cdot c_g [/mm] (k) = [mm] ghg^{-1}gkg^{-1} [/mm] = [mm] ghkg^{-1} [/mm] = [mm] c_g [/mm] (h [mm] \cdot [/mm] k)$
Das ist ja die Bedingung für Homomorphie, ich frage mich aber, ob ich den Schritt beim letzten =-Zeichen so machen kann...?
b) Isomorphismus ist ja ein bijektiver Homomorphismus. Also erstmal versucht, die Homomorphiebedingung nachzuweisen. Allerdings bin ich mir noch nichtmal sicher, dass ich die Aufgabenstellung richtig verstanden haben... Bedeutet $g [mm] \rightarrow c_g$ [/mm] denn, dass $g$ auf [mm] $ghg^{-1}$ [/mm] (s. Aufgabe a) abgebildet wird? Wenn ja, hätte ich doch folgendes:
sei $j [mm] \in [/mm] G$
[mm] $c_g(g) \cdot c_g(j) [/mm] = [mm] ghg^{-1} \cdot jhj^{-1}$ [/mm] bzw [mm] $c_g [/mm] (g [mm] \cdot [/mm] j) = [mm] gjhg^{-1}j^{-1}$ [/mm] - wäre ja nicht dasselbe und ich sehe auch nicht wie ich das noch umformen kann...
Im nächsten Schitt müsste ich ja Bijektivität nachweisen, also dass das ganze injektiv und surjektiv ist - ganz ehrlich, ich hab keinen Schimmer wie das hier geht, ich hab ja irgendwie keine Definitionsmenge und so...
c) leider keinen Ansatz / Idee... :-(
Gruß GB
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
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> a) Für alle [mm]g \in G[/mm] ist die Abbildung [mm]c_g : G \rightarrow G;~~ h \rightarrow ghg^{-1}[/mm]
> ein Isomorphismus von Gruppen.
>
> b) Die Abbildung [mm]c: G \rightarrow Sym(G); g \rightarrow c_g[/mm]
> ist ein Homomorphismus von Gruppen.
>
> c) [mm]G[/mm] ist genau dann kommutativ wenn [mm]c[/mm] konstante Abbildung
> ist.
> hi
> ich habe gerade die ersten 3 Vorlesungen in Algebra hinter
> mir und muss gestehen dass ich mit der Materie noch nicht
> so recht klar komme - v.a. mit dieser Aufgabe hier. Ich
> habe ein bisschen was versucht, aber ob das irgendwie Sinn
> macht weiß ich nicht so recht
>
> a) sei [mm]k \in G[/mm]
>
> [mm]c_g (h) \cdot c_g (k) = ghg^{-1}gkg^{-1} = ghkg^{-1} = c_g (h \cdot k)[/mm]
>
> Das ist ja die Bedingung für Homomorphie, ich frage mich
> aber, ob ich den Schritt beim letzten =-Zeichen so machen
> kann...?
Kannst Du.
Die Bijektivität [mm] c_g [/mm] hast Du aber noch zu zeigen !
>
> b) Isomorphismus ist ja ein bijektiver Homomorphismus. Also
> erstmal versucht, die Homomorphiebedingung nachzuweisen.
> Allerdings bin ich mir noch nichtmal sicher, dass ich die
> Aufgabenstellung richtig verstanden haben... Bedeutet [mm]g \rightarrow c_g[/mm]
> denn, dass [mm]g[/mm] auf [mm]ghg^{-1}[/mm] (s. Aufgabe a) abgebildet wird?
Nein. Die Abb. c leistet folgendes: [mm] c(g)=c_g.
[/mm]
c ordnet jeden g [mm] \in [/mm] G den Isomorphismus [mm] c_g [/mm] zu
> Wenn ja, hätte ich doch folgendes:
> sei [mm]j \in G[/mm]
> [mm]c_g(g) \cdot c_g(j) = ghg^{-1} \cdot jhj^{-1}[/mm]
> bzw [mm]c_g (g \cdot j) = gjhg^{-1}j^{-1}[/mm] - wäre ja nicht
> dasselbe und ich sehe auch nicht wie ich das noch umformen
> kann...
> Im nächsten Schitt müsste ich ja Bijektivität
> nachweisen, also dass das ganze injektiv und surjektiv ist
> - ganz ehrlich, ich hab keinen Schimmer wie das hier geht,
> ich hab ja irgendwie keine Definitionsmenge und so...
>
> c) leider keinen Ansatz / Idee... :-(
Wenn G abelsch ist, was für eine einfache Abb. ist dann [mm] c_g [/mm] ? Wenn Du das hast, siehst Du [mm] c_g =c_f [/mm] für alle f,g [mm] \in [/mm] G
Umgekehrt: sei nun c konstant, also [mm] c_g =c_f [/mm] für alle f,g [mm] \in [/mm] G. Dann ist auch [mm] c_g =c_e [/mm] für alle g [mm] \in [/mm] G. Zeige damit: gh=hg für alle h,g [mm] \in [/mm] G
FRED
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> Gruß GB
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